• การแจกแจงทวินาม

    วันนี้เรามาเรียนเกี่ยวกับการแจกแจงทวินามกันนะคับผม ส่วนการแจกทวินามนั้นมีความหมายว่าอย่างไร เราไปดูนิยามกันเลยคับ

    บทนิยาม

    การแจกแจงทวินาม (binomail distribution) คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) ซึ่งคือจำนวนครั้งของการเกิดผลสำเร็จจากการทดลองสุ่ม \(n\) ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน โดยในแต่ละครั้งมีโอกาสเกิดขึ้นสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ \(p\) และไม่เกิดผลสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ \(1-p\)

    หมายเหตุ

    1. เรียก \(n\) และ \(p\) ว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม

    และเขียนสัญลักษณ์  \(X\sim B(n,p)\) เพื่อแสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินามที่มี \(n\) และ \(p\) เป็นพารามิเตอร์

    2. การทดลองสุ่ม 1 ครั้ง ที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 แบบ คือ สำเร็จหรือไม่สำเร็จ เรียกว่า การลองแบร์นูลลี (Bernoulli trail) เช่น การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง

    จากนิยามข้างต้น สรุปได้ว่า การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่มีลักษณะดังต่อไปนี้

    1. เกิดจากการทดลองสุ่มจำนวน \(n\) ครั้งที่เป็นอิสระกัน กล่าวคือ ผลที่ได้จากการทดลองสุ่มในครั้งก่อนหน้าไม่ส่งผลต่อการทดลองสุ่มในครั้งต่อๆไป

    2. การทดลองสุ่มในแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียง 2 แบบ คือ สำเร็จหรือไม่สำเร็จ

    3. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลสำเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งเท่ากัน ให้เป็น \(p\) เมื่อ \(0<p<1\) และจะได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดผลสำเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งเป็น \(1-p\)

    ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ในการหาความน่าจะเป็น ค่าคาดหมาย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นการแจกแจงทวินาม 

    ทฤษฎีบท

    ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินาม จะได้ว่า

    \(1.\quad P(X=x)=\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}\) สำหรับทุก \(x\in\{0,1,2,\cdots ,n\}\)

    \(2.\quad \mu_{x}=np\)

    \(3.\quad \sigma_{x}=\sqrt{np(1-p)}\)

    เมื่อ \(n\) แทนจำนวนครั้งของการทดลองสุ่ม และ \(p\) แทนความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลสำเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง

    ข้อสังเกต จากทฤษฎีบท ข้อ \(1\) และทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่า

    \[\displaystyle\sum_{x=0}^{n}P(X=x)=\displaystyle\sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}=(p+(1-p))^{n}=1\]

    ต่อไปเรามาทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่าครับ เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้น เอาทฤษฎีข้างบนมาใช้เลยนะคับ

    1. กำหนดให้ \(X\sim B(6,0.3)\) จงหา

    วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นได้ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินามที่ \(n=6\) และ \(p=0.3\)

    \(1)\quad P(X=2)\)

    เริ่มทำเลยนะคับตามทฤษฎีด้านบนเลยครับ

    \begin{array}{lcl}P(X=2)&=&\binom{6}{2}(0.3)^{2}(0.7)^{4}\\&\approx &0.3241\end{array}

    \(2)P(X\leq 2)\)

    เริ่มทำเลยใช้ทฤษฎีด้านบนเลยจ๊ะ

    \begin{array}{lcl}P(X\leq 2)&=&P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\&=&\binom{6}{0}(0.7)^{6}+\binom{6}{1}(0.3)(0.7)^{5}+\binom{6}{2}(0.3)^{2}(0.7)^{4}\\&\approx&0.7443\end{array}

    \(3)\quad P(X>2)\)

    ข้อนี้ใช้ข้อ \(2)\) มาช่วยครับก็คือ

    \begin{array}{lcl}P(X>2)&=&1-P(X\leq 2)\\&\approx&1-0.7443\\&\approx&0.2557\end{array}

    \(4)\quad P(2\leq X\leq 5)\)

    เริ่มทำเลยไม่ยากค่อยๆดูดีๆ

    \begin{array}{lcl}P(2\leq X\leq 5)&=&P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\\&=&\binom{6}{2}(0.3)^{2}(0.7)^{4}+\binom{6}{3} (0.3)^{3}(0.7)^{3}\\&+&\binom{6}{4} (0.3)^{4}(0.7)^{2}+\binom{6}{5} (0.3)^{5} (0.7)\\&\approx&0.5791\end{array}

    2. ในการโยนเหรียญที่ไม่เที่ยงตรงเหรียญหนึ่ง พบว่า ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นก้อยในการโยนเหรียญแต่ละครั้งเท่ากับ \(0.6\) ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญนี้ \(6\) ครั้ง

    1) จงหาค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    วิธีทำ เนื่องจากโดยเหรียญนี้ 6 ครั้ง ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดก็คือ 0,1,2,3,4,5,6

    2) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินามหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

    วิธีทำ จากโจทย์เราจะเห็นว่าตัวแปรสุ่ม \(X\) มีลักษณะดังนี้

    1. เกิดจากการทดลองสุ่มคือการโยนเหรียญ จำนวน 6 ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน

    2. การทดลองสุ่มหรือว่าการโยนเหรียญแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือสำเร็จก็คือเหรียญออกหัว หรือไม่สำเร็จคือเหรียญออกก้อย

    3. ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัวในการโยนเหรียญแต่ละครั้งเท่ากัน โดยเท่ากับ \(1-0.6=0.4\) และความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นก้อยในการเหรียญแต่ละครั้งเป็น \(0.6\)

    ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) นี้ เป็นการแจกแจงทวินาม

    3) จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัวน้อยกว่า 3 ครั้ง

    วิธีทำ ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัวน้อยกว่า 3 ครั้งคือ \(P(X<3)\) เริ่มกันเลย

    \begin{array}{lcl}P(X<3)&=&P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\&=&\binom{6}{0} (0.6)^{6}+\binom{6}{1} (0.4)(0.6)^{5}\\&+&\binom{6}{2}(0.4)^{2}(0.6)^{4}\\&\approx&0.5443\end{array}

    4) โดยเฉลี่ยแล้วเหรียญจะขึ้นหัวกี่ครั้ง

    วิธีทำ เนื่องจากว่า \(\mu_{x}=np=6(0.4)=2.4\)

    ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้วเหรียญจะขึ้นหัว 2.4 ครั้ง

    5) จงหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    วิธีทำ

    เนื่องจาก \(\sigma^{2}_{x}=np(1-p)=6(0.4)(1-04)=1.44\) 

    ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 1.44 ครั้ง2

    และเนื่องจาก  \(\sigma_{x}=\sqrt{144}=1.2\)

    ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 1.2 ครั้ง

    3.ให้ตัวแปรสุ่ม \(Y\) คือจำนวนครั้งที่ได้แต้มเป็นจำนวนคู่ จากการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 1 ลูก 8 ครั้ง

    1) จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Y\) เป็นการแจกแจงทวินามหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

    วิธีทำ  เนื่องจากตัวแปรสุ่ม \(Y\) มีลักษณะดังต่อไปนี้

    1. เกิดจากการทดลองสุ่มก็คือการทอดลูกเต๋า จำนวน 8 ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน

    2.การทดลองสุ่มแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือสำเร็จ ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจำนวนคู่ หรือไม่สำเร็จ ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจำนวนคี่

    3. ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจำนวนคู่ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงแต่ละครั้งเท่ากัน โดยเท่ากับ \(\frac{1}{2}\) และความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเป็นจำนวนคี่ในการทอดลูกเต๋าแต่ละครั้งเป็น \(\frac{1}{2}\) 

    ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Y\) เป็นการแจกแจงทวินาม

    2) จงหาความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเป็นจำนวนคู่ 5 ครั้ง

    วิธีทำ ความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเป็นจำนวนคู่ 5 ครั้งคือ

    \begin{array}{lcl}P(Y=5)&=&\binom{8}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\\&\approx&0.2188\end{array}

    3) จงหาความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเป็นจำนวนคู่น้อยกว่า 8 ครั้ง

    วิธีทำ ความน่าจะเป็นที่ได้แต้มเป็นจำนวนคู่น้อยกว่า 8 ครั้งคือ

    \begin{array}{lcl}P(Y<8)&=&1-P(Y=8)\\&=&1-\binom{8}{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\\&\approx&1-0.0039\\&\approx&0.9961\end{array}

    4) จงหาค่าคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(Y\)

    วิธีทำ เนื่องจาก \(\mu_{Y}=np\) จะได้

    \(\mu_{Y}=8\left(\frac{1}{2}\right)=4\)

    ดังนั้น ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(Y\) คือ 4 ครั้ง

    เนื่องจาก \(\sigma^{2}_{Y}=8\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) =2\)

    ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(Y\) คือ 2 ครั้ง2

    4. ความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะซื้อชานมไข่มุกในแต่ละวันเท่ากับ \(\frac{9}{10}\) จงหาความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะซื้อชานมไข่มุกไม่เกิน 2 วัน ในหนึ่งสัปดาห์

    วิธีทำ ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนทวันที่โสภิตาซื้อชานมไข่มุกในหนึ่งสัปดาห์ จะได้ค่าที่เป็นไปได้ทั่งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 0,1,2,3,4,5,6,7 เนื่องจากตัวแปรสุ่ม \(X\) มีลักษณะดังต่อไปนี้

    1. เกิดจากการตัดสินใจซื้อชานมไข่มุกของโสภิตาในแต่ละวันในหนึ่งสัปดาห์ที่เป็นอิสระกัน

    2. การตัดสินใจซื้อชานมไข่มุกของโสภิตาในแต่ละวันเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบคือ สำเร็จก็คือซื้อชานมไข่มุก หรือไม่สำเร็จ ก็คือไม่ซื้อชานมไข่มุก

    3. ความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะซื้อชานมไข่มุกในแต่ละวันเท่ากัน โดยเท่ากับ \(\frac{9}{10}\) และ ความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะซื้อชานมไข่มุกในแต่ละวันเป็น \(1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}\)

    จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินาม ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่โสภิตาจะซื้อชานมไข่มุกไม่เกิน 2 วัน ในหนึ่งสัปดาห์คือ

    \begin{array}{lcl}P(X\leq 2)&=&P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\&=&\binom{7}{0}\left(\frac{1}{10}\right)^{7}+\binom{7}{1}\left(\frac{9}{10}\right) \left(\frac{1}{10}\right)^{6}\\&+&\binom{7}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^{2}\left(\frac{1}{10}\right)^{5}\\&=&0.0002\end{array}

    5.ในการแข่งขันตอบโจทย์ปัญหาทางวิชาการของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีผู้เข้าร่วมการแข่งขันจำนวน 6 คน ทำการแข่งขันทั้งหมด 5 ครั้ง ถ้าภัคนินทร์เป็นหนึ่งในผู้เข้าแข่งขันและความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันแต่ละครั้งเท่ากันโดยเท่ากับ \(0.3\) จงหาความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันอย่างน้อย 1 ครั้ง

    วิธีทำ ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนการแข่งขันที่ภัคนินทร์ชนะจากการแข่งขัน 5 ครั้ง จะได้ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 0,1,2,3,4,5 เนื่องจากตัวแปรสุ่ม \(X\) มีลักษณะดังต่อไปนี้

    1. เกิดจากการแข่งขัน 5 ครั้ง ที่เป็นอิสระกัน

    2. การแข่งขันแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เีพียง 2 แบบ คือ สำเร็จก็คือภคนินทร์ชนะการแข่งขัน หรือไม่สำเร็จก็คือภัคนินทร์ไม่ชนะการแข่งขัน

    3. ความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันในแต่ละครั้งเท่ากัน โดยเท่ากับ 0.3 และความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะไม่ชนะการแข่งขันในแต่ละครั้งเป็น \(1-0.3=0.7\)

    จะเห็นได้ว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินาม ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ภัคนินทร์จะชนะการแข่งขันอย่างน้อย 1 ครั้งคือ

    \begin{array}{lcl}P(X\geq 1)&=&1-P(X<1)\\&=&1-P(X=0)\\&=&1-\binom{5}{0}(0.7)^{5}\\&\approx&0.8319\end{array}

    6. จากข้อมูลของศูนย์ควบคุมและสั่งการจราจร พบว่า ความน่าจะเป็นที่รถยนต์แต่ละคันจะเปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) บริเวณสี่แยกไฟแดงแห่งหนึ่งเป็น 0.75 ถ้าสุ่มรถยนต์ที่วิ่งผ่านป้อมควบคุมสัญญาณไฟจราจรบริเวณสี่แยกนี้มา 9 คัน จงหา

    วิธีทำ ก่อนที่จะตอบคำถามแต่ละข้อเราจะเห็นว่า  ถ้าเราให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนรถยนต์ที่เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) จากรถยนต์ที่วิ่งผ่านป้อมควบคุมสัญญาณไฟจราจรบริเวณสี่แยกนี้ที่สุ่มมาจำนวน 9 คัน จะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 เนื่องจากตัวแปรสุ่ม \(X\) มีลักษณะดังต่อไปนี้

    1. เกิดจากการสุ่มรถยนต์ที่วิ่งผ่านป้อมควบคุมสัญญานไฟจราจรบริเวณสี่แยกแห่งนี้จำนวน 9 คนที่เป็นอิสระต่อกัน

    2. การสุ่มแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ สำเร็จ (รถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม) หรือไม่สำเร็จ (รถยนต์ไม่เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม )

    3. ความน่าจะเป็นที่รถยนต์แต่ละคันจะเปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้ามเท่ากันโดยเท่ากับ 0.75 และความน่าจะที่รถยนต์แต่ละคันจะไม่เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้ามเป็น \(1-0.75=0.25\)

    จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินาม

    1) ความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ ) 4 คัน

    วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆครับจะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้และข้อที่ผ่านมาก็ทำเหมือนกันเลยครับ ก็คือ

    \begin{array}{lcl}P(X=4)&=&\binom{9}{4}(0.75)^{4} (0.25)^{5}\\&\approx& 0.0389\end{array}

     

    2) ความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) ไม่เกิน 3 คัน

    วิธีทำ เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}P(X\leq 3)&=&\binom{9}{0}(0.25)^{9}\\&+&\binom{9}{1}(0.75)(0.25)^{8}\\&+&\binom{9}{2}(0.75)^{2}(0.25)^{7}\\&+&\binom{9}{3}(0.75)^{3}(0.25)^{6}\\&\approx&0.01\end{array}

    3) ความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ ) มากกว่า 6 คัน

    วิธีทำ  เริ่มทำกันเลย

    \begin{array}{lcl}P(X>6)&=&\binom{9}{7}(0.75)^{7}(0.25)^{2}\\&+&\binom{9}{8}(0.75)^{8}(0.25)\\&+&\binom{9}{9}(0.75)^{9}\\&\approx&0.6007\end{array}

    4) ค่าคาดหมายและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนรถยนต์ที่เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ)

    วิธีทำ  เนื่องจาก \(\mu_{X}=np=9(0.75)=6.75\)

    ดังนั้น ค่าคาดหมายของจำนวนรถยนต์ที่เปลี่ยนช่องทางเดินรถในพื้นที่ห้าม (เส้นทึบ) คือ 6.75 คัน

    7. สาเหตุหนึ่งของภาวะคอเลสเตอรอลสูงเกิดจากมิวเทชันของยีน LDLR (low-density lipoprotein receptor) ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างตัวรับ LDL ที่บริเวณเยี่อหุ้มเซลล์ ซึ่งส่งผลต่อระดับคอเลสเตอรอลในเลือด ดังรายละเอียดต่อไปนี้

    บุคคลที่มีจีโนไทป์ \(L^{H}L^{H}\) สามารถสร้างตัวรับ LDL ได้

    บุคคลที่มีจีโนไทป์ \(L^{H}L^{h}\) สามารถสร้างตัวรับ LDL ได้ในปริมาณน้อย ส่งผลให้มีโอกาสมีระดับคอเลสเตอรอลในเลือดค่อนข้างสูง

    บุคคลที่มีจีโนไทป์ \(L^{h}L^{h}\) ไม่สามารถสร้างตัว LDL ได้ ส่งผลให้มีระดับคอเลสเตอรอลในเลือดสูงมาก และมีโอกาสเป็นโรคหัวใจตั้งแต่อายุยังน้อยได้

    สำหรับพ่อและแม่ที่มีจีโนไทป์ \(L^{H}L^{h}\) ความน่าจะเป็นที่ลูกแต่ละคนจะมีจีโนไทป์ \(L^{H}L^{H}\) และ \(L^{H}L^{h}\) คือ \(\frac{1}{4}\) และ \(\frac{1}{2}\) 1ตามลำดับ ถ้าสามีภรรยาคู่หนึ่งที่มีจีโนไทป์ \(L^{H}L^{h}\) ทั้งคู่ ต้องการมีบุตร 3 คน จงหา

    วิธีทำกำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนบุตรที่มีจีโนไทป์ \(L^{h}L^{h}\) จากบุตรจำนวน 3 คน จะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 0,1,2,3

    เนื่องจากตัวแปรสุ่ม \(X\) มีลักษณะดังต่อไปนี้

    1. เกิดจากการมีบุตรจำนวน 3 คน ที่เป็นอิสระต่อกัน

    2. การมีบุตรแต่ละครั้งเกิดผลลัพธ์ได้เพียง 2 แบบ คือ สำเร็จ (บุตรมีจีโนไทป์\(L^{h}L^{h}\)) หรือ ไม่สำเร็จ (บุตรไม่มีจีโนไทป์\(L^{h}L^{h}\))

    3. ความน่าจะเป็นที่บุตรแต่ละคนจะมีจีโนไทป์ \(L^{h}L^{h}\) เท่ากัน โดยเท่ากับ \(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

    และความน่าจะเป็นที่บุตรแต่ละคนจะไม่มีจีโนไทป์\(L^{h}L^{h}\) เป็น \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

    จะเห็นว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงทวินาม

    1) ความน่าจะเป็นที่บุตรทั้ง 3 คน ไม่มีจีโนไทป์ \(L^{h}L^{h}\)

    วิธีทำ ความน่าจะเป็นที่บุตรทั้ง 3 คน ไม่มีจีโนไทป์ \(L^{h}L^{h}\) คือ

    \begin{array}{lcl}P(X=0)&=&\binom{3}{0}\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\\&\approx&0.4219\end{array}

    2) ความน่าจะเป็นที่มีบุตรอย่างน้อย 1 คน มีจีโนไทป์ \(L^{h}L^{h}\)

    วิธีทำ ความน่าจะเป็นที่มีบุตรอย่างน้อย 1 คน มีจีโนไทป์ \(L^{h}L^{h}\) คือ

    \begin{array}{lcl}P(X\geq 1)&=&1-P(X<1)\\&=&1-P(X=0)\\&\approx&1-0.4219\\&\approx&0.5781\end{array}

  • การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง(discrete uniform distribution) แต่ก่อนที่จะศึกษาเรื่องนี้จำเป็นต้องไปอ่านเรื่องนี้ก่อนนะคับการแจกแจงตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องก่อนนะคับ  เอาละต่อไปเรามาดูนิยามของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องกันเลยครับ

    นิยาม

    ให้ \(X\)  เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ถ้าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ \(X\) คือ \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots ,x_{n}\) แล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เมื่อ \(P(X=x_{i})=\frac{1}{n}\) สำหรับทุก \(i=\{1,2,3,4,\cdots ,n\}\)

    สรุปง่ายๆ ก็คือ ถ้าเราหาค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) แล้วค่าความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากันทั้งหมด การแจกแจงของตัวแปรสุ่มนั้นจะเป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    มาดูตัวอย่างประกอบครับ เป็นตัวอย่างจากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. นะคับ

    1.จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

    1) ตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 1 ครั้ง

    วิธีทำ จากโจทย์โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง แซมเปิลสเปซก็คือ \(s=\{H,T\}\) ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือเหรียญไม่ขี้นหัวเลย กับ เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง เขียนเป็นเซตได้คือ \(x=\{0,1\}\)

    ดังนั้น

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญไม่ขึ้นหัวเลยคือ เหตุการณ์นี้นะครับ \(\{T\}\) คือ \(P(X_{1}=0)=\frac{1}{2}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง คือเหตุการณ์นี้ครับ \(\{H\}\) คือ \(P(X_{1}=1)=\frac{1}{2}\)

    เขียนเป็นตารางแจกแจงความน่าจะเป็นก็จะได้

    \(x\) 0 1
    \(P(X_{1}=x)\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\)

    จะเห็นว่าค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) นี้เท่ากับหมดคือ \(\frac{1}{2}\) ดังนั้นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) นี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    2) ตัวแปรสุ่ม \(X_{2}\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นก้อย จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้ง

    วิธีทำข้อนี้การหาแซมเปิลสเปซจะทำเหมือนข้อ 1) ไม่ได้แล้วเพราะว่ามันเยอะเกิน จะเขียนแจกแจงให้เห็นหมดไม่ได้ แต่เราก็ใช้ความรู้เกี่ยวกับ  กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ คือใช้กฎการคูณ จึงทำให้ได้ว่า จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปสจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้งมีค่าเท่ากับ \(2^{10}\)

    พยายามจินตนาการตามนะครับจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ขึ้นก้อยเลยคือเหตุการณ์นี้ \(\{(HHHHHHHHHH)\}\) ซึ่งทำให้เราได้ว่าความน่าจะเป็นที่เหรียญไม่ขึ้นก้อยหรือขี้นก้อย 0 ครั้งมีค่า \(P(X_{2}=0)=\frac{1}{2^{10}}\)

    คิดตามต่อนะครับจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นก้อย 1 ครั้ง คือเหตุการพวกนี้ \(\{(THHHHHHHHH),(HTHHHHHHH),(HHTHHHHHHH),\cdots ,(HHHHHHHHHT)\}\) มีทั้งหมด 10 เหตุการณ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นก้อย 1 ครั้งมีค่าเท่ากับ \(P(X_{2}=1)=\frac{10}{2^{10}}\)   

    จาก 2 อย่างที่ผมยกตัวอย่างให้เห็น ก็คือ

    \(P(X_{2}=0)=\frac{1}{2^{10}}\)

    \(P(X_{2}=1)=\frac{10}{2^{10}}\)

    จะเห็นได้ว่า \(P(X_{2}=0)\neq P(X_{2}=1)\) ดังนั้น การแจกแจงนี้ ไม่เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    2.เกมวงล้อเสี่ยงโชคมีกติกาการเล่นคือ ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อรูปวงกลมที่แบ่งเป็น 10 ช่อง เท่าๆกัน โดยแต่ละช่องระบุจำนวนเงินรางวัลแตกต่างกันคือ \(50,100,150,200,250,300,350,400,450,500\) บาท ถ้าลูกศรชี้ที่ช่องใด ผู้เล่นจะได้รับเงินรางวัลที่ระบุในช่องนั้น สมมติว่าในการหมุนวงล้อแต่ละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใดช่องหนึ่งเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 300 บาท นักเรียนจะเล่มเกมนี้หรือไม่อย่างไร

    วิธีทำ จากเงินรางวัลที่เราจะได้เมื่อเล่นเกมนี้คือ50,100,150,200,250,300,350,400,450,500 จะเห็นว่าเมื่อเราจ่ายเงิน 300 บาทเพื่อเล่นเกมนี้โอกาสที่จะได้กำไรคือ \(\frac{4}{9}\approx 0.44\) แต่โอกาสที่จะขาดทุนคือ \(\frac{5}{9}=\approx 0.56\) นั่นคือโอกาศขาดทุนมากกว่าชัดเจนไม่ควรเล่น  แต่ถ้าเราจะคำนวณเพื่อให้สอดคล้องกับสิ่งที่เราเรียน เราก็สามารถหาค่าคาดหมาย ออกมาก็ได้  

    โดยขั้นตอนแรกกำหนดตัวแปรสุ่มออกมาก่อน ในที่นี้ผมจะกำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือกำไร (ขาดทุน) จากการเล่นเกมวงล้อนี้ 1 ครั้ง เราจะได้ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการเล่นเกมวงล้อนี้คือ 

    \(\{-250,-200,-150,-100,-50,0,50,100,150,200\}\) จะเห็นได้ว่าวงล้อนี้มี 10่ ช่องดังนั้น

    \(P(X=-250)=\frac{1}{10}\)

    \(P(X=-200)=\frac{1}{10}\)

    \(\vdots\)

    \(P(X=200)=\frac{1}{10}\)

    ต่อไปหาค่าคาดหมาย

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(-250)\frac{1}{10}+(-200)\frac{1}{10}\\&+&(-150)\frac{1}{10}+(-100)\frac{1}{10}\\&+&(50)\frac{1}{10}+(0)\frac{1}{10}\\&+&(50)\frac{1}{10}+(100)\frac{1}{10}\\&+&(150)\frac{1}{10}+(200)\frac{1}{10}\\&=&-25\end{array}

    จากค่าคาดหมายที่เราได้สรุปได้ว่าในการเล่นเกมแต่ละครั้งเฉลี่ยแล้วเราจะขาดทุนครั้งละ 25 บาท หรือเราจะมองว่าเฉลี่ยแล้วในแต่ละครั้งที่เราเล่นเกมเราจะได้เงินจากการเล่นเฉลี่ยแล้วอยู่ที่ 275 บาทก็ได้  ดังนั้นถ้าเราจนเราก็ไม่ควรเล่นเกมนี้นะ ยกเว้นมีเงินเหลือก็เล่นๆไปเหอะ

    3. ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง และค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 5,6,7,8,9 และ 10  จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    วิธีทำ อ่านโจทย์โจทย์บอกว่าตัวแปรสุ่ม \(X\) นี้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องเราจะได้ว่า ค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากัน อันนี้เป็นไปตามนิยามของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องนะคับ  จากค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมี \(\{5,6,7,8,9,10\}\) ซึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 6 ตัว ดังนั้น \(n=6\) จากนิยาม การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องทำให้เราได้ว่า

    \(P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)=P(X=9)=P(X=10)=\frac{1}{6}\) ดังนั้นเราสามารถนำข้อมูลนี้ไปหาค่าคาดหมายได้ครับ

    เริ่มหาเลย

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{x=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(5)\frac{1}{6}+(6)\frac{1}{6}+(7)\frac{1}{6}\\&+&(8)\frac{1}{6}+(9)\frac{1}{6}+(10)\frac{1}{6}\\&=&7.5\end{array}

    จะได้ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 7.5 คับ

    ต่อไปหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้คับจะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}_{x}&=&\displaystyle\sum (x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})\\&=&(5-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(6-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&+&(7-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(8-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&+&(9-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(10-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&\approx&2.92\end{array}

    ดังนั้นความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 2.92

    ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    \begin{array}{lcl}\sigma_{x}=\sqrt{2.92}\approx 1.71\end{array}

    ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 1.71

  • การแจงแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

    ในหัวข้อนี้ว่าด้วยเรื่องของการหาค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มพอได้ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแล้ว นำค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนั้นมาเขียนให้อยู่ในรูปตารางหรือกราฟ  ตารางหรือกราฟที่แสดงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนี้ ถูกเรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็น (probability distribution)

    ต่อไปเดี๋ยวเราไปดูการทำโจทย์เกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

    1. ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จำนวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 40 คน แสดงด้วยตารางความถี่ดังนี้

    จำนวนข้อที่ตอบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    จำนวนนักเรียน(คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2

    ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) ในรูปตาราง

    วิธีทำ   จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) ก็คือ

     0  นักเรียนตอบไม่ถูกเลย

    1  นักเรียนตอบถูกหนึ่งข้อ

    2  นักเรียนตอบถูกสองข้อ

    \(\vdots\quad\vdots\)

    10 นักเรียนตอบถูกสิบข้อ

    ซึ่งถ้าเราดูจากตารางที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า

    นักเรียนที่ตอบไม่ถูกสักข้อเลยมี 0 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกหนึ่งข้อมี 1 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสองข้อ มี 2 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสามข้อมี 5 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสี่ข้อมี 6 คน

    จากตรงนี้เราจะได้ว่า สุ่มนักเรียนมา 1 คน

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 0 ข้อ คือ \(P(X=0)=\frac{0}{40}=0\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 1 ข้อ คือ \(P(X=1)=\frac{1}{40}=0.025\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 2 ข้อ คือ \(P(X=2)=\frac{2}{40}=0.05\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 3 ข้อ คือ \(P(X=3)=\frac{5}{40}=0.125\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 4 ข้อ คือ \(P(X=4)=\frac{6}{40}=0.15\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 5 ข้อ คือ \(P(X=5)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 6 ข้อ คือ \(P(X=6)=\frac{8}{40}=0.2\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 7 ข้อ คือ \(P(X=7)=\frac{7}{40}=0.175\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 8 ข้อ คือ \(P(X=8)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 9 ข้อ คือ \(P(X=9)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 10 ข้อ คือ \(P(X=10)=\frac{2}{40}=0.05\)

    เอ้าลืมไปเขาเขียนในรูปของตาราง

    \(x\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \(P(X=x)\) 0 \(\frac{1}{40}\) \(\frac{2}{40}\) \(\frac{5}{40}\) \(\frac{6}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{8}{40}\) \(\frac{7}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{2}{40}\)

    2. ให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) ในรูปตารางและกราฟ

    วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าการทดลองสุ่มของเราคือทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ดังนั้นแซมเปิลสเปส(sample space) คือ

    \begin{array}{lcl}s=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\end{array}

    ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(n(s)=36\)

    จากโจทย์กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต่า ดังนั้นจาก sample space ด้านบนเราได้ว่า

    ผลต่างของแต้มเป็น 0 คือพวกนี้ \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

    ผลต่างของแต้ม 1 คือพวกนี้ \(\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,6),(6,5),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)\}\) มีสมาชิก  10 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 2 คือพวกนี้ \(\{(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,3),(3,1)\}\) มีสมาชิก 8 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 3 คือพวกนี้ \(\{(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 4 คือพวกนี้ \(\{(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)\}\) มีสมาชิก 4 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 5 คือพวกนี้ \(\{(1,6),(6,1)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว

    จากที่เราแจกแจงมาทั้งหมดด้านบนทำให้เรารู้อีกว่า ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(Z\) หรือก็คือผลต่างของแต้มลูกเต๋าผมจะแทนด้วย \(z\) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเซตคือ \(z=\{0,1,2,3,4,5\}\)

    ต่อไปเราก็หาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) กันเลยครับ

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 0 เขียนแทนด้วย \(P(Z=0)=\frac{6}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 1 เขียนแทนด้วย \(P(Z=1)=\frac{10}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 2 เขียนแทนด้วย \(P(Z=2)=\frac{8}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 3 เขียนแทนด้วย \(P(Z=3)=\frac{6}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 4 เขียนแทนด้วย \(P(Z=4)=\frac{4}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 5 เขียนแทนด้วย \(P(Z=5)=\frac{2}{36}\)

    โจทย์เขาบอกให้ในรูปตารางและกราฟ ลงมือเขียนเลยไม่ยากแล้ว ได้ข้อมูลครบหมดแล้ว

    \(z\) 0 1 2 3 4 5
    \(P(Z=z)\) \(\frac{6}{36}=0.17\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{2}{36}\)

    กราฟแสดงการแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z


  • ค่าคาดหมาย

    วันนี้เรามาดูนิยามของค่าคาดหมาย(expected value)กันครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ เราจะศึกษาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องครับ

    นิยาม

    ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\) เขียนแทนด้วย \(\mu_{x}\) นิยามโดย

    \[\mu_{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\]

    เมื่อ \(n\) แทนจำนวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) และ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\) แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    หมายเหตุ   ในกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม\(X\) เป็นเซตอนันต์ จะนิยามให้ \(\mu_{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}P(X=x_{i})\) แต่ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจำกัด

    ต่อไปเรามาดูตัวอย่างการหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องกันครับ

    ตัวอย่าง จำนวนพี่น้องของนักเรียนชั้น ม.6 ห้องหนึ่งซึ่งมีจำนวน 50 คน แสดงด้วยตารางความถี่ได้ดังนี้

    จำนวนพี่น้อง (คน) ความถี่
    0 6
    1 22
    2 17
    3 4
    4 1

    ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มได้ จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    วิธีทำ จากโจทย์ตัวแปรสุ่ม\(X\) คือจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มมา 1 คน ดังนั้นจากตารางที่โจทย์กำหนดให้ ค่าของตัวแปรสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ \(x=\{0,1,2,3,4\}\)

    จากตารางจะได้ว่า

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนไม่มีพี่น้องเลยคือ \(P(X=0)=\frac{6}{50}=0.12\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 1 คนคือ \(P(X=1)=\frac{22}{50}=0.44\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 2 คนคือ \(P(X=2)=\frac{17}{50}=0.34\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 3 คนคือ \(P(X=3)=\frac{4}{50}=0.08\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 4 คนคือ \(P(X=4)=\frac{1}{50}=0.02\)

    เมื่อเราได้ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแล้ว ต่อไปเราก็ไปหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) เลย หาตามนิยาม เลยนะคับ

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&0(0.12)+1(0.44)+2(0.34)+3(0.08)+4(0.02)\\&=&1.44\end{array}

    ดังนั้นค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 1.44 คน

    เราสามารถหาค่าคาดหมายได้อีกวิธีนะคับ ก็คือเอาจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มมา มาหาค่าเฉลี่ย ดูนะผมทำดูไม่เชื่อได้ค่าเท่ากัน

    \begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{0(6)+1(22)+2(17)+3(4)+4(1)}{50}\\&=&1.44\end{array}

    ดังนั้นจึงอาจเรียกค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มว่า ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

    2. กล่องใบหนึ่งบรรจุเบี้ย 6 อัน โดยมีหมายเลย 3,5,6,7,8 และ 11 กำกับไว้ ถ้าสุ่มหยิบเบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบี้ยทีละอันและไม่ใส่คืนก่อนหยิบเบี้ยอันที่สอง และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ ผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสองอันที่สุ่มได้

    1) จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม\(X\) พร้อมทั้งอธิบายความหมาย

    วิธีทำ อ่านโจทย์เสร็จสิ่งที่เราต้องได้คือ sample space ของการหยิบเบี้ย ระวังหน่อยนะข้อนี้หยิบเบี้ยตัวแรก ไม่ใส่คืนแล้วก็หยิบอันที่ 2 ต่อเลย มาดู sample space เลยจะได้

    \(s=\{(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,11),\\(5,3),(5,6),(5,7),(5,8),(5,11),(6,5),(6,3)\\,(6,7),(6,8),(6,11),(7,6),(7,5),(7,3),(7,8),\\(7,11),(8,7),(8,6),(8,5),(8,3),\\(8,11),(11,8),(11,7),(11,6),(11,5),(11,3)\}\)

    และ \(n(s)=30\)

    จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือผลบวกของเบี้ยที่สุ่มได้ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 

    \(x=\{8,9,10,11,14,12,13,16,17,15,18,19\}\)

    จาก sample space เราจะเห็นว่า

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 8 ก็จะมี \(\{(3,5),(5,3)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 9 ก็จะมี\(\{(3,6),(6,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 10 ก็จะมี \(\{(3,7),(7,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 11 ก็จะมี \(\{(5,6),(6,5),(3,8),(8,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 14 ก็จะมี \(\{(8,6),(6,8),(3,11),(11,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 12 ก็จะมี \(\{(5,7),(7,5)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 13 ก็จะมี \(\{(6,7),(7,6)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 16 ก็จะมี \(\{(5,11),(11,5)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 17 ก็จะมี \(\{(6,11),(11,6)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 15 ก็จะมี \(\{(7,8),(8,7)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 18 ก็จะมี \(\{(7,11),(11,7)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 19 ก็จะมี \(\{(8,11),(11,8)\}\)

    ดังนั้น

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 8  คือ \(P(X=8)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 9  คือ \(P(X=9)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 10  คือ \(P(X=10)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 11  คือ \(P(X=11)=\frac{4}{30}=0.13\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 12  คือ \(P(X=12)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 13  คือ \(P(X=13)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 14  คือ \(P(X=14)=\frac{4}{30}=0.13\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 15  คือ \(P(X=15)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 16  คือ \(P(X=16)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 17  คือ \(P(X=17)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 18  คือ \(P(X=18)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 19  คือ \(P(X=19)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ต่อไปก็หาค่าคาดหมายครับ ก็เอาข้อมูลความน่าจะเป็นที่เรามีอยู่ไปแทนค่าในสูตรก็แค่นั้นครับ เริ่มแทนค่าเลย

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&8(0.07)+9(0.07)+10(0.07)\\&+&11(0.13)+12(0.07)+13(0.07)\\&+&14(0.13)+15(0.07)+16(0.07)\\&+&17(0.07)+18(0.07)+19(0.07)\\&=&0.56+0.63+0.7\\&+&1.43+0.84+0.91\\&+&1.82+1.05+1.12\\&+&1.19+1.26+1.33\\&=&12.84\end{array}

    นั่นหมายความว่า ผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสอง เมื่อสุ่มเบี้ยครั้งละ 1 อันโดยหยิบเบี้ยครั้งแรกและไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบเบี้ยอันที่สองมีผลเฉลี่ยของของหมายเลขของเบี้ยทั้งสองประมาณต้องใช้คำว่าประมาณนะคับเพราะจะเห็นว่าตัวเลขที่เป็นความน่าจะเป็นข้างบนมันหารไม่ลงตัวอยู่ที่ประมาณ 12.84 แต้ม นี่แหละครับวิธีการทำข้อนี้ครับ ซึ่งถ้าเรามองให้กว้างๆ จะเห็นว่าเรื่องของตัวแปรสุ่มนี้มันสามารถขยายความรู้ไปใช้ในชีวิตประจำวันได้ โดยเฉพาะในแง่ของการตัดสินใจ วางแผนการทำงานในอนาคตโดยมีเงื่อนไขต่างๆมาให้ตัดสินใจ ถ้าเรามีความรู้เรื่องนี้ เราก็จะสามารถตัดสินใจได้อย่างถูกต้อง ครับ เดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดูต่อไป

    3. ลูกค้ารายหนึ่งต้องการทำประกันชีวิตกับบริษัทมั่นใจประกันชีวิต โดยกำหนดทุนประกัน 2,000,000 บาท(นั่นคือ ในกรณีที่ลูกค้าเสียชีวิต บริษัทจะต้องจ่ายเงินให้ผู้รับประโยชน์ที่ลูกค้าระบุไว้เป็นจำนวนเงิน 2,000,000 บาท) และลูกค้าจะต้องจ่ายค่าเบี้ยประกันปีละ 50,000 บาท ถ้าลูกค้ารายนี้มีภาวะหยุดหายใจขณะหลับ โดยโอกาสที่เขาจะเสียชีวิตในแต่ละปีคิดเป็นร้อยละ 1 จงพิจารณาว่าถ้าบริษัทมั่นใจประกันชีวิตรับทำประกันชีวิตให้กับลูกค้ารายนี้ บริษัทจะได้กำไรหรือขาดทุนโดยเฉลี่ยปีละกี่บาท

    วิธีทำ  ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือกำไรหรืออาจจะขาดทุนก็ได้นะ  ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตได้รับจากลูกค้าร้ายนี้ในแต่ละปี เนื่องจากมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ 2 เหตุการณ์ คือ ลูกค้าเสียชีวิตและลูกค้าไม่เสียชีวิตจะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ \(-1,950,000\) และ \(50,000\)

    เนื่องจากโอกาสที่ลูกค้ารายนี้จะเสียชีวิตในแต่ละปีเท่ากับ \(\frac{1}{100}\) ดังนั้นที่เหลือ \(\frac{99}{100}\) คือโอกาศลูกค้าไม่เสียชีวิต

    \(P(X=-1950,000)=\frac{1}{100}\) และ

    \(P(X=50,000)=\frac{99}{100}\)  ต่อไปก็ไปหาค่าคาดหวังกันเลยครับผม แค่เอาไปแทนค่าในสูตรนะ เพราะได้ความน่าจะเป็นแล้ว จะได้

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&(-1950,000)(\frac{1}{100})+(50,000)(\frac{99}{100})\\&=&30,000\end{array}

    นั่นคือ ค่าคาดหมายของกำไรหรืออาจจะขาดทุน ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตได้รับจากลูกค่ารายนี้ในแต่ละปีคือ 30,000 บาท  ดังนั้น ถ้าบริษัทมั่นใจประกันชีวตรับทำประกันชีวิตให้ลูกค้ารายนี้ บริษัทจะได้กำไรโดยเฉลี่ยปีละ 30,000 บาท

    ข้อนี้เป็นตัวอย่างที่ดีเพราะเป็นตัวอย่างที่เชื่อมโยงกับชีวิตประจำวัน จะเห็นได้ว่าบริษัทประกันภัยต่างๆจะมีนักคณิตศาสตร์ประกันภัยประจำบริษัทเพื่อเอาไว้คิดเรื่องพวกนี้ และถ้าเรามีความรู้เรื่องพวกนี้บ้างก็จะทำให้เราสามารถวางแผนในการจ่างเงินประกันได้อย่างถูกต้องและคุ้มค่าครับ เรื่องนี้สนุกนะ

    4. ในงานประจำปีมีเกมวงล้อเสี่ยงโชค โดยมีกติกาว่า ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อที่มีหมายเลข 1-7 กำกับไว้ด้งรูป ถ้าลูกศรชี้ที่ช่องที่มีหมายเลขที่กำกับเป็นจำนวนคี่ ผู้เล่นจะได้เงินรางวัล 20 บาท สมมติในการหมุนวงล้อแต่ละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใดช่องหนึ่งเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อ เสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 10 บาท จงหาค่าคาดหมายของจำนวนเงินที่ผู้เล่นจะได้รับหรือเสียไป พร้อมทั้งอธิบายความหมาย

    วิธีทำ จากโจทย์ ก่อนเล่นเราต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วก่อน 10 บาท ดังนั้น ถ้าเราเล่นชนะเราได้กำไร 20-10=10 บาท และถ้าเล่นแพ้นั่นคือขาดทุน \(-10\) บาท คร่าวๆจากโจทย์ก็จะเป็นแบบนี้

    ข้อนี้เรากำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นกำไรหรืออาจจะขาดทุนก็ได้ จากการเล่นเกมล้อหมุนนี้ 1 ครั้ง

    ดังนั้นจากที่เราทำการวิเคราะห์ข้างบนจะเห็นได้ว่าค่าที่ไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{10,-10\}\)

    และจากรูปภาพล้อหมุมที่โจทย์กำหนดมาให้เราจะเห็นว่า มัมมีหมายเลขทั้งหมด 10 ตัว

    เป็นเลขคี่ทั้งหมด  4 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหมุนแล้วลูกศรชี้ไปยังเลขคี่(กำไร)เท่ากับ \(P(X=10)=\frac{4}{10}\)

    เป็นเลขคู่ทั้งหมด 6 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหมุนแล้วลูกศรชี้ไปยังเลขคู่(ขาดทุน)เท่ากับ \(P(X=-10)=\frac{6}{10}\)

    ต่อไปเราหาค่าคาดหมายกันเลย ซึ่งถ้าดูคร่าวๆงานนี้ยังไงก็ขาดทุนแน่นอน เพราะจำนวนเลขคู่ มีมากกว่า เลขคี่ โอกาศขาดทุนเยอะกว่าอยู่แล้ว ดังนั้นค่าคาดหมายติดลบแน่นอน ไปดูกัน

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&10(\frac{4}{10})+(-10)\frac{6}{10}\\&=&-2\end{array}

    นั่นคือในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะขาดทุนครั้งละ 2 บาท แสดงว่า ถ้าเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคหลายๆครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วผู้เล่นจะเสียเปรียบ

    5.อรุณีได้ชวยเพื่อนๆมาเล่นหวยทอง โดยขายสลากแบบสองตัว หมายเลขละ 100 บาท มีรางวัลเป็นทองคำหนักหนึ่งสลึกหนึ่งเส้น ราคา 4500 บาท ณัชชาได้ซื้อสลากไว้หนึ่งหมายเลข จงหาค่าคาดหมายของการเล่นหวยทองครั้งนี้

    วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า ถ้าณัชชาซื้อหวยทองคำหนึ่งหมายเลย ถ้าถูกจะได้ กำไร 4400 บาท ถ้าผิดก็คือขาดทุน 100 บาท หรือก็คือ -100 บาทนั่นเอง  ถ้าผมให้กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ กำไรหรือขาดทุนในเล่นหวยทองคำครั้งนี้เราจะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ \(\{4400,-100\}\)

    เราจะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะถูกหวยทองคำที่เป็นสลากที่มีเลขสองหลักหรือว่าเลขสองตัวคือ \(\frac{1}{100}\)

    ความน่าจะเป็นที่จะไม่ถูกหวยทองคำเลยก็คือ \(\frac{99}{100}\)

    หรือก็คือ 

    \(P(X=4400)=\frac{1}{100}\)

    \(P(X=-100)=\frac{99}{100}\)

    ดังนั้นค่าคาดหมายในการเล่นหวยทองคำครั้งนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\mu_{X}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(4400)(\frac{1}{100})+(-100)\frac{99}{100}\\&=&44-99\\&=&-55\end{array}

    จากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มที่เราได้คือ \(-55\) บาท นั่นหมายความว่า หวยทองคำแต่ละใบที่เราซื้อนี้เราจะขาดทุนใบละ 55 บาท

    6. ในการโยนเหรียญสองอัน 1 ครั้ง เจ้าของบ่อนมีกฎการจ่ายเงินรางวัลให้ผู้เล่นคือ

    ถ้าเหรียญออกหัวทั้งคู่  แล้วจะได้เงินรางวัล 3 บาท

    ถ้าเหรียญออกก้อยทั้งคู่แล้ว   จะไม่ได้ไม่เสีย

    ถ้าเหรียญออกทั้งหัวและก้อยผสมกันจะ เสียเงิน 2 บาท

    จงหาค่าคาดหมายจากการเล่นพนันครั้งนี้

    วิธีทำ เราจะได้ว่าแซมเปิลสเปสจากโยนเหรียญสองอัน 1 ครั้งคือ 

    \(S=\{HH,TT,HT,TH\}\)  นั่นก็คือ \(n(S)=4\)

    กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือผลที่เกิดจากการเล่นเกมแต่ละครั้ง ก็คืออาจจะขาดทุนก็ได้  กำไรก็ได้ หรือเสมอ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)  คือ \(3,-2,0\)  หมายความว่าได้กำไร 3 บาท ขาดทุน 2 บาท และก็เสมอกัน

    ต่อไปเรามาหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) กัน

    \(P(X=3)\) คือความน่าจะเป็นที่จะได้เงินรางวัล 3 บาท นั่นคือเหรียญต้องออกหัวทั้งคู่ดังนั้น \(P(X=3)=\frac{1}{4}\)

    \(P(X=-2)\)คือความน่าจะเป็นที่จะเสียเงิน 2 บาท  นั่นคือเหรียญออกหัวและก้อยผสมกัน ดังนั้น \(P(X=-2)=\frac{2}{4}\)

    \(P(X=0)\) คือความน่าจะเป็นที่จะเสมอกับเจ้ามือ นั่นคือเหรียญออกก้อยทั้งคู่ ดังนั้น \(P(X=0)=\frac{1}{4}\)

    นั่นคือ ค่าคาดหมายจากการเล่นการพนันครั้งนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\mu_{X}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(3)(\frac{1}{4})+(-2)(\frac{2}{4})+(0)(\frac{1}{4})\\&=&\frac{3}{4}-\frac{4}{4}+0\\&=&-\frac{1}{4}\\&=&-0.25\end{array}

    จะเห็นว่าค่าคาดหมายของเราเท่ากับ \(-0.25\) บาท นั่นหมายความว่าแต่ละตาที่เราเล่นเฉลี่ยแล้วเราจะขาดทุนตาละ 0.25 บาทนั่นเอง เกมส์นี้ไม่น่าเล่น เราเสียเปรียบเจ้ามือแน่นอน

  • ตัวแปรสุ่ม

    วันนี้เราจะมารู้จักความหมายของตัวแปรสุ่มกันนะคับ จะอธิบายแบบง่ายๆแล้วกัน ไม่รู้ว่าจะง่ายสำหรับทุกคนหรือเปล่า แต่อย่างไรก็ลองอ่านดูก่อนว่าจะง่ายหรือไม่  ตัวแปรสุ่ม นั้นมันเป็นฟังก์ชันที่มีการส่งจาก แซมเปิลสเปซ ไปยัง จำนวนจริง(ตัวเลข) ตัวย่างเช่น

    ผมทดลอง โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง การทดลองสุ่มนี้ก็จะมีแซมเปิลสเปซซึ่งเรามักแทนด้วยตัว S คือ

    \(S=\{HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT\}\)

    และถ้าผมสนใจจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ดังนั้นจำนวนครั้งที่เหรียญขี้นหัวนั้นสามารถแทนด้วยตัวเลขได้คือ 

    0  คือเหรียญไม่ขึ้นหัวเลย

    1  คือเหรืยญขึ้นหัวหนึ่งครั้ง

    2  คือเหรียญขึ้นหัวสองครั้ง

    3  คือเหรียญขึ้นหัวสามครั้ง

    และสามารถเขียนแสดงได้ในรูปของเซตคือ \(\{0,1,2,3\}\)

    จากตัวอย่างที่ผมยกมาให้ดูนี้สามารถสร้างฟังก์ชัน \(X\) จากแซมเปิลสเปซ\((S)\) ไปยัง \(\{0,1,2,3\}\)  ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปยังจำนวนจริงแบบนี้แหละ เขาเรียกว่าตัวแปรสุ่ม(random variable) เดี่ยวผมจะเขียนเป็นแผนภาพให้ดู

    จากฟังก์ชัน \(X\) ตามรูปข้างบนนะคับจะได้ว่า

    \(X(HHH)=3\)

    \(X(HHT)=2\)

    \(X(HTH)=2\)

    \(X(THH)=2\)

    \(X(TTH)=1\)

    \(X(THT)=1\)

    \(X(HTT)=1\)

    \(X(TTT)=0\)

    ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปหาจำนวนจริง แบบนี้แหละเรียกว่า ต้วแปรสุ่มครับ  หรือถ้าเขียนให้มันดีๆหน่อย

    ตัวแปรสุ่ม(random variable) คือฟังก์ชันจากแซมเปิลสเปซไปยังเซตของจำนวนจริง

    โดยทั่วไปนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนตัวแปรสุ่ม เช่น \(X,Y,Z\) และใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก\((x,y,z)\)แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มซึ่งนิยมเขียนในรูปของเซต เช่น จากรูปภาพด้านบน \(x=\{0,1,2,3\}\) คือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    จากรูปภาพข้างบน เราจะเห็นว่า

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 0 \(\{TTT\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=0)=\frac{1}{8}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 \(\{HTT,THT,TTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{3}{8}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 2 \(\{HHT,THH,HTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=2)=\frac{3}{8}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 3 \(\{HHH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{1}{8}\)

    มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับผม เป็นแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสวท นะคับลองทำดูไม่ยากนะค่อยๆทำความเข้าใจ

    1. ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จำนวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 40 คน แสดงด้วยตารางความถี่ดังนี้

    จำนวนข้อที่ตอบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    จำนวนนักเรียน(คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2

    ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) ในรูปตาราง

    วิธีทำ   จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) ก็คือ

     0  นักเรียนตอบไม่ถูกเลย

    1  นักเรียนตอบถูกหนึ่งข้อ

    2  นักเรียนตอบถูกสองข้อ

    \(\vdots\quad\vdots\)

    10 นักเรียนตอบถูกสิบข้อ

    ซึ่งถ้าเราดูจากตารางที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า

    นักเรียนที่ตอบไม่ถูกสักข้อเลยมี 0 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกหนึ่งข้อมี 1 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสองข้อ มี 2 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสามข้อมี 5 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสี่ข้อมี 6 คน

    จากตรงนี้เราจะได้ว่า สุ่มนักเรียนมา 1 คน

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 0 ข้อ คือ \(P(X=0)=\frac{0}{40}=0\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 1 ข้อ คือ \(P(X=1)=\frac{1}{40}=0.025\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 2 ข้อ คือ \(P(X=2)=\frac{2}{40}=0.05\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 3 ข้อ คือ \(P(X=3)=\frac{5}{40}=0.125\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 4 ข้อ คือ \(P(X=4)=\frac{6}{40}=0.15\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 5 ข้อ คือ \(P(X=5)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 6 ข้อ คือ \(P(X=6)=\frac{8}{40}=0.2\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 7 ข้อ คือ \(P(X=7)=\frac{7}{40}=0.175\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 8 ข้อ คือ \(P(X=8)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 9 ข้อ คือ \(P(X=9)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 10 ข้อ คือ \(P(X=10)=\frac{2}{40}=0.05\)

    เอ้าลืมไปเขาเขียนในรูปของตาราง

    \(x\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \(P(X=x)\) 0 \(\frac{1}{40}\) \(\frac{2}{40}\) \(\frac{5}{40}\) \(\frac{6}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{8}{40}\) \(\frac{7}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{2}{40}\)

    2. ให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) ในรูปตารางและกราฟ

    วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าการทดลองสุ่มของเราคือทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ดังนั้นแซมเปิลสเปส(sample space) คือ

    \begin{array}{lcl}s=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\end{array}

    ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(n(s)=36\)

    จากโจทย์กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต่า ดังนั้นจาก sample space ด้านบนเราได้ว่า

    ผลต่างของแต้มเป็น 0 คือพวกนี้ \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

    ผลต่างของแต้ม 1 คือพวกนี้ \(\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,6),(6,5),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)\}\) มีสมาชิก  10 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 2 คือพวกนี้ \(\{(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,3),(3,1)\}\) มีสมาชิก 8 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 3 คือพวกนี้ \(\{(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 4 คือพวกนี้ \(\{(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)\}\) มีสมาชิก 4 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 5 คือพวกนี้ \(\{(1,6),(6,1)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว

    จากที่เราแจกแจงมาทั้งหมดด้านบนทำให้เรารู้อีกว่า ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(Z\) หรือก็คือผลต่างของแต้มลูกเต๋าผมจะแทนด้วย \(z\) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเซตคือ \(z=\{0,1,2,3,4,5\}\)

    ต่อไปเราก็หาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) กันเลยครับ

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 0 เขียนแทนด้วย \(P(Z=0)=\frac{6}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 1 เขียนแทนด้วย \(P(Z=1)=\frac{10}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 2 เขียนแทนด้วย \(P(Z=2)=\frac{8}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 3 เขียนแทนด้วย \(P(Z=3)=\frac{6}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 4 เขียนแทนด้วย \(P(Z=4)=\frac{4}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 5 เขียนแทนด้วย \(P(Z=5)=\frac{2}{36}\)

    โจทย์เขาบอกให้ในรูปตารางและกราฟ ลงมือเขียนเลยไม่ยากแล้ว ได้ข้อมูลครบหมดแล้ว

    \(z\) 0 1 2 3 4 5
    \(P(Z=z)\) \(\frac{6}{36}=0.17\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{2}{36}\)

    กราฟแสดงการแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z

  • เฉลย o-net ม.6 เรื่องความน่าจะเป็น

    1. สโมสรแห่งหนึ่งมีสมาชิกเป็นชาย \(m\) คน เป็นหญิง \(w\) คน ต่อมามีสมาชิกเพิ่มขึ้น โดยเป็นชายอีก 25 คน และเป็นหญิงอีก 35 คน ถ้าสุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนจากทั้งหมด แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้สมาชิกเป็นชาย เท่ากับเท่าใด (o-net 59 ข้อ 31)

    1. \(\frac{m}{w}\)
    2. \(\frac{m}{w+m}\)
    3. \(\frac{m+25}{w+35}\)
    4. \(\frac{m+25}{m+w+35}\)
    5. \(\frac{m+25}{m+w+60}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ใครที่ต้องการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นเพิ่มเติมให้ไปอ่านตามลิงก์นี้คับ

    ก่อนอื่นเลยไปหาจำนวนคนทั้งหมดก่อนคือจำนวนชายและหญิงรวมกัน ก็คือ

    \(m+w+25+35=m+w+60\)

    ต่อไปเขาถามหาความน่าจะเป็นที่สุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนแล้วได้เป็นชาย แสดงว่าเราต้องรู้จำนวนสมาชิกที่เป็นผู้ชาย ซึ่งก็คือ

    \(m+25\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มสมาชิกมาหนึ่งคนแล้วได้เป็นผู้ชาย เท่ากับ

    \(P(E)=\frac{m+25}{m+w+60}\)

    2. ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูก 2 คน ไปเที่ยวสวนสนุกแห่งหนึ่ง ถ้าจัดคนทั้งสี่ถ่ายรูปกับรูปปั้นโดราเอมอน โดยยืนเรียงกันให้โดราเอมอนอยู่ตรงกลาง และลูกทั้งสองคนไม่ยืนติดกัน จะมีจำนวนวิธีจัดได้กี่วิธี (o-net 57 ข้อ 26)

    1. 8
    2. 10
    3. 12
    4. 16
    5. 18

    วิธีทำ

    ข้อนี้ผมจะมีรูปให้ดูประกอบ  โดราเอมอนจะยืนอยู่ตรงกลางเสมอ ดังนั้น

    ลูกคนที่ 1 เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 4 วิธี

    ลูกคนที่ 2 เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้แค่ 2 วิธี กล่าวคือ ถ้าลูกคนที่หนึ่งยืนทางด้านซ้ายโดราเอมอน ลูกคนที่ 2 ก็ต้องมายืนทางขวาตรงไหนก็ได้มีให้เลือก 2 ที่

    พ่อ เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 2 วิธี กล่าวคือ ลูกสองคนยืนไปแล้ว 2 ที่ดังนั้นเหลือให้พ่อเลือกยืน  2 ที่

    แม่ เลือกที่ยืนถ่ายรูปได้ 1 วิธี

    ดังนั้น  จำนวนวิธีที่จัดได้คือ \(4\times 2\times 2\times 1=16\) วิธี

    3. กนกมีถุงเท้าสีขาว 1 คู่ สีน้ำเงิน 2 คู่ และสีดำ 3 คู่ เขาใส่ถุงเท้าไว้ในลิ้นชักโดย ไม่ได้ จัดแยกเป็นคู่ ถ้าเขาสุ่มหยิบถุงเท้าจากลิ้นชักมา 2 ข้างแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าสีเดียวกันมีค่าเท่ากับข้อใด (o-net 57 ข้อ 27)

    1. \(\frac{1}{66}\)
    2. \(\frac{1}{22}\)
    3. \(\frac{1}{11}\)
    4. \(\frac{1}{6}\)
    5. \(\frac{1}{3}\)

    วิธีทำ ข้อนี้อยากให้ไปอ่านทบทวนเรื่องนี้ก่อนคับ การจัดหมู่(Combination) 

    จากโจทย์เราจะได้ว่ามีถุงเท้าทั้งหมด 10 ข้าง และเราหยิบถุงเท้าจากลิ้นชักมาครั้งละ 2 ข้าง  ดังนั้นจะได้จำนวนวิธีหยิบทั้งหมดคือ

    \(C_{12,2}=\frac{12!}{(12-2)!2!}=\frac{12!}{10!2!}=\frac{12\times 11}{2}=66\)

    จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีขาวทั้งคู่ คือ

    \(C_{2,2}=1\)

    จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีน้ำเงินทั้งคู่ คือ

    \(C_{4,2}=\frac{4!}{(4-2)!2!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\times 3}{2}=6\)

    จำนวนวิธีหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้เป็นสีดำทั้งคู่ คือ

    \(C_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6\times 5}{2}=15\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นหยิบถุงเท้ามา 2 ข้างแล้วได้สีเดียวกันคือ \(P(E)=\frac{1+6+15}{66}=\frac{22}{66}=\frac{1}{3}\)

    4. ตู้บรรจุลูกบอลสีเขียว สีเหลือง และสีแดง มีจำนวนลูกบอลเป็นอัตราส่วนดังนี้ สีเขียว : สีเหลือง เท่ากับ 4:7 และ สีเหลือง : สีแดง เท่ากับ 3:4 ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลมาหนึ่งลูกจากตู้นี้ แล้วความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีเหลืองเท่ากับเท่าใด (o-net 58 ข้อ 28)

    1. \(\frac{1}{3}\)
    2. \(\frac{2}{5}\)
    3. \(\frac{5}{9}\)
    4. \(\frac{10}{13}\)
    5. \(\frac{21}{61}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วน มาช่วยแต่ก็ไม่ได้ยากอะไร เริ่มทำกันเลย

    ขาว : เหลือง                         เหลือ : แดง

     4   :  7                                   3  :  4

    จากข้อมูลด้านบน เราต้องทำให้ลูกบอลสีเหลืองซึ่งตอนนี้คือ 7 กับ 3 ให้มันเท่ากันก่อนคือทำให้เป็น 21 (ค.ร.น 7 กับ 3 คือ 21) เริ่มทำเลย

              ขาว : เหลือง                                                         

    \( 4\times 3 =12 :  7\times 3=21\)   

           เหลือง : แดง                           

     \( 3 \times 7=21 :  4\times 7=28\)

    ตอนนี้เราได้จำนวนลูกบอลที่แท้จริงแล้วคือ

    ขาว : เหลือง                         เหลือ : แดง

     12   :  21                                  21  :  28

    นั่นคือ

    จำนวนลูกบอลทั้งหมดคือ \(12+21+28=61\)

    จำนวนลูกบอลสีเหลืองคือ \(21\)

    ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบมาหนึ่งลูกแล้วได้ลูกบอลสีเหลืองคือ \(P(E)=\frac{21}{61}\)

    5. ผลการสำรวจขนาดของเสื้อยืดสำหรับนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 250 คน เป็นดังนี้

    ขนาด จำนวนนักเรียน (คน)
    S 28
    M 96
    L 73
    XL 39
    XXL 14
    รวม 250

    ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มนี้มา 1 คน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสวมเสื้อยืดขนาด \(M\) หรือ \(XL\) เท่ากับเท่าใด (o-net 58 ข้อ 38)

    วิธีทำ  ข้อนี้ถามหาความน่าจะเป็นของ 2 เหตุการณ์ ดังนั้นนำมาบวกกันเลยครับผม จึงได้ว่า

    \(P(E)=\frac{96}{250}+\frac{39}{250}=\frac{135}{250}=\frac{27}{50}=0.54\)

    6. ถ้าแต่ละวันในเดือนสิงหาคม มีความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็นเท่ากับ 0.86 ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเย็นเท่ากับ 0.67  และความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกทั้งตอนเช้าและตอนเย็นเท่ากับ 0.35 แล้วความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกในตอนเช้ามีค่าเท่ากับเท่าใด (o-net 57 ข้อ 40)

    วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดภาพ เวนน์-ออยเลอร์ ช่วยนิดหน่อยจะได้ดูง่าย

    กำหนดให้ \(P(A)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า ซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์ถามหา

    \(P(B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเย็น เท่ากับ 0.67

    \(P(A\cap B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกทั้งตอนเช้าและตอนเย็น เท่ากับ 0.35

    \(P(A\cup B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็น เท่ากับ 0.86

    จะได้รูป เวนน์-ออยเลอร์ ดังนี้

    ซึ่งความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า มีค่าเท่ากับ \(0.54\) ใช้แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และบวก ลบ นิดหน่อย ก็หาคำตอบได้แล้ว

    หรือใครจะใช้สูตรตามที่เรียนมาในหนังสือคณิตศาสตร์ ม.5 ก็ได้คือ

    \begin{array}{lcl}P(A\cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\0.86&=&P(A)+0.67-0.35\\0.86&=&P(A)+0.32\\P(A)&=&0.86-0.32\\P(A)&=&0.54\end{array}

    ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะมีฝนตกตอนเช้า เท่ากับ \(0.54\)

    7. ในปี พ.ศ. 2557 ประเทศไทยมีความน่าจะเป็นที่จะประสบภาวะน้ำท่วมเท่ากับ \(\frac{3}{11}\) และความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยแล้งเท่ากับ \(\frac{1}{3}\)  ถ้าความน่าจะเป็นที่จะประสบภาวะน้ำท่วมหรือภัยแล้งเท่ากับ \(\frac{6}{11}\) แล้วความน่าจะเป็นที่ประเทศไทยจะประสบทั้งภาวะน้ำท่วมและภัยแล้งในปี พ.ศ. 2557 เท่าก้บเท่าใด (o-net 56 ข้อ 28)

    1. \(\frac{1}{33}\)
    2. \(\frac{2}{33}\)
    3. \(\frac{1}{11}\)
    4. \(\frac{2}{11}\)
    5. \(\frac{3}{11}\)

    วิธีทำ ข้อนี้ผมขอใช้สูตรตามที่เราเรียนในหนังสือเรียน สสวท. กันเลยนะคับผม

    กำหนดให้

    \(P(A)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยน้ำท่วม ซึ่งเท่ากับ \(\frac{3}{11}\)

    \(P(B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยแล้ว ซึ่งเท่ากับ \(\frac{1}{3}\)

    \(P(A\cup B)\) คือความน่าจะเป็นที่จะประสบภัยน้ำท่วมหรือภัยแล้ง ซึ่งเท่ากับ \(\frac{6}{11}\)

    \(P(A\cap B)\) คือ ความน่าจะเป็นที่จะประสบทั้งภัยน้ำท่วมและภัยแล้ง

    จาสูตร \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) จะได้ว่า

    \begin{array}{lcl}P(A\cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\\frac{6}{11}&=&\frac{3}{11}+\frac{1}{3}-P(A\cap B)\\\frac{6}{11}&=&\frac{20}{33}-P(A\cap B)\\P(A\cap B)&=&\frac{20}{33}-\frac{6}{11}\\P(A\cap B)&=&\frac{2}{33}\quad\underline{Ans}\end{array}

    8.ทาสีเหรียญสามอัน ดังนี้

    เหรียญแรก ด้านหนึ่งทาสีขาว  อีกด้านหนึ่งทาสีแดง

    เหรียญที่สอง  ด้านหนึ่งทาสีฟ้า อีกด้านหนึ่งทาสีแดง

    เหรียญที่สาม ด้านหนึ่งทาสีฟ้า อีกด้านหนึ่งทาสีขาว

    ถ้าโยนเหรียญทั้งสามอันนี้พร้อมกัน แล้วความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสามจะขึ้นหน้าเหรียญต่างสีกันทั้งหมดเท่ากับเท่าใด(o-net 59 ข้อ 40)

    วิธีทำ  ข้อนี้วาดแผนภาพต้นไม้ (tree-diagram) เลยครับ การวาดแผนภาพต้นไม้ เป็นอีกทักษะหนึ่งในการทำโจทย์ความน่าจะเป็นนะคับใครวาดไม่เป็นรีบไปศึกษาเลยครับ จะได้แผนภาพต้นไม้ดังนี้

     โดยผมให้   ข  คือ ด้านเหรียญสีขาว , ฟ คือ ด้านเหรียญสีฟ้า , ด คือ ด้านเหรียญสีแดง 

    จากแผนภาพต้นไม้ จะเห็นว่าเมื่อเราโยนเหรียญสามอันพร้อมกัน ก็จะเกิดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 8 เหตุการณ์ เช่น ขฟฟ คือ เหรียญแรกขึ้นหน้าสีขาว เหรียญสองและสามขี้นหน้าสีฟ้า ดังนั้น \(n(S)=8\)

    แต่เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ เหรียญขึ้นหน้าสีต่างกัน ดังนั้นก็จะมี ขดฟ , ดฟข นั่น \(n(E)=2\)

    ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสามจะขี้นหน้าเหรียญสีต่างกันคือ \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0.25\)

    9. ถ้าการที่ครอบครัวจะมีลูกชายหรือลูกสาวมีโอกาสเท่าๆกันแล้ว จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่ครอบครัวที่มีลูก 4 คน มีลูกคนที่สองเป็นหญิง และลูกคนที่สี่เป็นชาย เท่าก้บเท่าใด (o-net 59 ข้อ 32)

    1. 4
    2. 6
    3. 8
    4. 10
    5. 16

    วิธีทำ ข้อนี้วาดแผนภาพต้นไม้ครับ จะง่ายมากๆ  

    ผมกำหนดให้

    ช คือ ลูกชาย

    ญ คือ ลูกสาว

    จะได้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้

    จากแผนภาพจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่จะมีลูกคนที่สองเป็นหญิง  และคนที่สี่เป็น ชาย มีทั้งหมด 4 เหตุการณ์คือ ชญชช , ชญญช , ญญชช,ญญญช ข้อนี้จึงตอบ ตัวเลือกที่ 1.  แต่ถ้าเขาถามหาความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองเป็น หญิง และลูกคนที่สี่ เป็น ชาย ก็ตอบ \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0.25\)

    10. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล 10 ลูก เป็นสีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 2 ลูก และสีขาว 2 ลูก นอกนั้นเป็นสีอื่นๆ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกล่องใบนี้ให้ได้สีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และไม่ได้สีขาว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 54 ข้อ 18)

    \(\frac{1}{12}\)

    \(\frac{1}{10}\)

    \(\frac{7}{60}\)

    \(\frac{2}{15}\)

    วิธีทำ  ดูที่โจทย์ก่อนว่าบอกอะไรมาบ้าง

    • มีลูกบอลสีแดง 1 ลูก
    • สีน้ำเงิน 2 ลูก
    • สีขาว 2 ลูก
    • สีอื่นอีก 5 ลูก

    รวมกันมีลูกบอลทั้งหมด 10 ลูก

    จำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ลูกคือ \(C_{10,3}=\frac{10!}{(10-3)!3!}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2}=120\)

    หยิบลูกบอล 3 ลูกไม่ได้สีขาวเลย นั่นหมายความว่าต้องได้สีแดง 1 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และสีอื่นอีก 1 ลูก ดังนั้นจำนวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ลูกแล้วไม่ได้สีขาวเลยคือ

    \(C_{1,1}\times C_{2,1}\times C_{5,1}=1\times 2\times 5=10\) วิธี

    ดังนั้นความน่าจะเป็นที่หยิบลูกบอล 3 ลูกแล้วไม่ได้สีขาวเลยคือ \(\frac{10}{120}=\frac{1}{12}\)

    11. จากการสำรวจนักเรียนห้องหนึ่ง จำนวน 30 คน พบว่า มีนักเรียนไม่ชอบรับประทานปลา 12 คน และชอบรับประทานปลาหรือกุ้ง 23 คน ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ชอบรับประทานกุ้งเพียงอย่างเดียวมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

    1. \(\frac{1}{6}\)
    2. \(\frac{1}{5}\)   
    3. \(\frac{2}{5}\)
    4. \(\frac{3}{5}\)

    วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปดูครับ ก็คือวาดแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ นั่นแหละครับ

    เขาบอกว่ามีนักเรียนไม่ชอบรับประทานปลา 12 คน ก็แสดงว่านักเรียนคนนั้นอาจจะชอบกินกุ้ง หรือ ไม่ชอบกินกุ้งก็ได้ก็จะได้แผนภาพดังนี้

    พื้นที่สีส้มที่ผมระบายในรูปข้างบนคือมีจำนวนทั้งหมด 12 คนนะคับ เข้าใจไหมคือพวกไม่ชอบกินปลามีจำนวน 12 คน

    มีนักเรียนทั้งหมด  30 คน ผมเอา 30 คนนี้ไปลบออกจาก 12 คือลบออกจากพวกที่ไม่ชอบกินปลาจะเหลือ 18 คน นั่นหมายความว่านักเรียนชอบกินปลา 18 คน

    แต่เขาบอกว่าชอบกินปลาหรือกุ้งมี 23 คน แต่ตอนนี้เรารู้ว่าชอบกินปลา 18 คนแล้วแสดงว่าชอบกินกุ้งอย่างเดียว 5 คน (18+5=23)   

    นั่นก็คือ สุ่มนักเรียนมา 1 คนความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นจะชอบกินกุ้งเพียงอย่างเดียวเท่ากับ \(\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)       

  • เอกสารประกอบการสอนตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

    เอกสารประกอบการสอนตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น  เอกสารนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนและครูมากเลยครับ โดยเฉพาะนักเรียนสามารถนำไปศึกษาได้ด้วยตนเองได้เลยครับ เอกสารนี้เป็นของท่านคุณครูอุเทน นุแปงถา  มีประโยชน์มากเลยครับ ต้องขอบขอบพระคุณท่านมากที่ทำสื่อดีๆออกมาเผยแพร่ ให้กับทุกคนได้นำมาใช้ครับ เอกสารนี้ตรงกับตัวชีวัดผลการเรียนรู้ของกระทรวงทุกอย่างเลยนะครับ เหมาะสำหรับใช้เป็นเอกสารประกอบการเรียนการสอนนะคับผม  เอาละไปดูกันเลยครับ

    ดาวน์โหลดเอกสาร