ความเร็วและความเร่ง

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด

ตัวอย่าง 1  ระยะทาง \(s\) เมตรที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นฟังก์ชันกับเวลา \(t\) วินาที กำหนดโดย \(s=16(t+\frac{1}{t^{3}})\) ถ้าความเร่งมีค่า \(6\quad เมตร/วินาที^{2}\) แล้วความเร็วมีค่าเท่าใด

วิธีทำ  จาก \(s=16(t+\frac{1}{t^{3}})=16t+16t^{-3}\)

ดังนั้น

\(v=\frac{ds}{dt}=16-48t^{-4}\)

เนื่องจากโจทย์ต้องการหาความเร็ว ดังนั้นเราต้องหา \(t\) แต่เงื่อนไขที่จะหา \(t\)  นั้น โจทย์กำหนดให้ความเร่งเท่ากับ \(6\)

แต่   \(a=\frac{dv}{dt}=192t^{-5}\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}192t^{-5}&=&6\\t^{5}&=&\frac{192}{6}\\t^{5}&=&32\\t&=&2\end{array}

ดังนั้น ต้องการหาความเร็วเมื่อความเร่งเท่ากับ 6  คือความเร็ว เมื่อ \(t=2\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}v&=&16-48(2)^{-4}\\&=&16-\frac{48}{2^{4}}\\&=&13\end{array}

ตอบ ความเร็วมีค่าเท่ากับ \(13\) เมตร/วินาที

ตัวอย่าง 2  ยิงพลุลูกหนึ่งซึ่งมีความเร็วต้น 15,000 ฟุตต่อวินาที เมื่อยิงพลุไปแล้วเป็นเวลา \(t\) วินาที พลุจะขี้นไปสูง \(15,000t-16t^{2}\) ฟุต อยากทราบว่าพลุจะขึ้นไปสูงสุดกี่ฟุต

วิธีทำ  ขณะที่พลุขึ้นไปสูงเรื่อยๆ ความเร็วของพลุจะลดลง เพราะมีแรงดึงดูดของโลกดึงดูดไว้ ดังนั้นพลุจะขึ้นได้สุงสุดเมื่อความเร็วเป็นศูนย์

จาก 

\begin{array}{lcl}s&=&15,000t-16t^{2}\\v&=&\frac{ds}{dt}=15,000-32t\end{array}

โจทย์ถามว่าพลุขี้นไปสูงสุดกี่ฟุต เราทราบว่าพลุที่จุดสูงสุดจะมีความเร็วเป็น \(0\) เพราะฉะนั้นเราจึงให้ 

\(v=0\)  จะได้

\begin{array}{lcl}15,000-32t&=&0\\t&=&\frac{15,000}{32}\end{array}

นี่คือเวลา \(t\) เมื่อพลุขึ้นได้ถึงสูงสุด  ต่อไปเราก็เอาค่า \(t\) ที่ได้นี้ไปแทนค่าในสมการ \(s=15,000t-16t^{2}\)  เพื่อหาว่าพลุขึ้นได้สูงสุดกี่ฟุต  จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}s&=&15,000t-16t^{2}\\&=&15,000(\frac{15,000}{32})-16(\frac{15,000}{32})^{2}\\&=&\frac{(15,000)^{2}}{32}-\frac{(15,000)^{2}}{64}\\&=&\frac{2(15,000)^{2}-(15,000)^{2}}{64}\\&=&\frac{(15,000)^{2}}{64}\end{array}

ตัวอย่าง 3  กำหนดให้ \(s(t)=t^{3}-2t^{2}+3t+4\) จงหาความเร็วและความเร่งเมื่อ \(t=2\)

วิธีทำ  หาความเร็วก่อนความเร็วได้จาก การดิฟระยะทาง ดังนั้น

\(v(t)=s^{\prime}(t)=3t^{2}-4t+3\)

ดังนั้น ความเร็ว เมื่อ \(t=2\) คือ

\(v(2)=3(2^{2})-4(2)+3=7\)

หาความเร่ง  ความเร่งหาได้จาก ดิฟความเร็ว ดังนั้น

\(a(t)=v^{\prime}(t)=6t-4\) 

ดังนั้น ความเร่ง เมื่อ \(t=2\) คือ

\(a(2)=6(2)-4=8\)

ตัวอย่าง 4    โยนลูกบอลขึ้นไปในอากาศ โดยลูกบอลเคลื่อนที่ด้วยสมการ \(s(t)=8t-t^{2}\) จงหาว่าลูกบอลเคลื่อนที่ได้สูงเท่าใดก่อนจะตกลงมา

วิธีทำ  เราต้องรู้นะครับว่าเมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุดเมื่อไร ความเร็ว(v) ณ ตรงจุดสูงสุดนั้นจะเป็น  \(0\) ดังนั้นเราสามารถคำนวณหาเวลา(t)ที่ความเร็วสูงสุดได้ครับ กล่าวคือ

\begin{array}{lcl}v(t)=s^{\prime}(t)=8-2t\end{array}

ดังนั้นเมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุดต้องใช้เวลา(t) ทั้งสิ้น

\(v(t)=8-2t\)

เนื่องที่จุดสูงสุดความเร็วจะเท่ากับ \(0\) นั่นคือ \(v(t)=0\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}v(t)&=&8-2t\\0&=&8-2t\\t&=&\frac{-8}{-2}\\t&=&4\end{array}

นั่นคือต้องใช้เวลาถึง \(4\) วินาที ลูกบอลถึงจะเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุด และเคลื่อนที่ได้ระยะทาง

\begin{array}{lcl}s(t)&=&8t-t^{2}\\s(4)&=&8(4)-4^{2}\\s(4)&=&32-16\\s(4)&=&16\end{array}

ดังนั้นก่อนที่จะตกลงมาลูกบอลเคลื่อนที่ได้ 16 เมตร

4. จงหาความเร็ว \(v(t)\) และตำแหน่งของวัตถุ \(s(t)\) ขณะเวลา \(t\) ใดๆ เมื่อกำหนดความเร่ง \(a(t)\) และตำแหน่งของวัตถุเมื่อ \(t=0\) ดังนี้

1) \(a(t)=6-2t,\quad 0\leq t\leq 3,\quad v(0)=5,k\quad s(0)=0\)

วิธีทำ จาก \(\frac{dv}{dt}=a(t)=6-2t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\int\frac{dv}{dt}dt&=&\int(6-2t)dt\\v&=&6t-t^{2}+c_{1}\end{array}

จาก\(v(0)=5\) จะได้ \(c_{1}=5\)

ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v(t)=-t^{2}+6t+5\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

จาก \(\frac{ds}{dt}=v(t)=-t^{2}+6t+5\)

จะได้ \begin{array}{lcl}\int\frac{ds}{dt}dt&=&\int (-t^{2}+6t+5)dt\\s&=&-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t+c_{2}\end{array}

จาก \(s(0)=0\) จะได้ \(c_{2}=0\)

ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s(t)=-\frac{t^{3}}{3}+3t^{2}+5t\) เมื่อ \(0\leq t\leq 3\)

5.โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที

กำหนดให้ \(g=9.8  เมตร/วินาที^{2}\) จงหา

1) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้

วิธีทำ โยนวัตถุขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่ง \(a=-g=-9.8 เมตร/วินาที^{2}\)

หรือ \(a=\frac{dv}{dt}=-9.8\)

จะได้ \(\int\frac{dv}{dt}dt=\int -9.8dt\)

ดังนั้น \(v=-9.8t+c_{1}\)

โยนวัตถูขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 98 เมตร/วินาที

นั่นคือ ขณะ \(t=0\) และ \(v=98\)

จาก \(v=-9.8t+c_{1}\)

จะได้ \(c_{1}=98\)

ดังนั้น \(v=-9.8t+98\)

จาก \(\frac{ds}{dt}=\int (-9.8t+98)dt\)

ดังนั้น \(s=-4.9t^{2}+98t+c_{2}\)

เมื่อ \(t=0\) จะได้ \(s=0\) และ \(c_{2}=0\)

ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ \(s=-4.9t^{2}+98t\)

2) วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด

วิธีทำ วัตถุขึ้นสูงสุด เมื่อ \(v=0\)

จาก \(v=-9.8t+98\)

จะได้

\begin{array}{lcl}0&=&-9.8t+98\\t&=&10\end{array}

ดังนั้น วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไป 10 วินาที

4. สุทธิชัยปล่อยวัตถุลงจากที่สูงลงสู่พื้นดิน วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง \(s=16t^{2}\) เมตร ในเวลา \(t\) วินาที   จงหา

1)  ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้หลังจากปล่อยวัตถุไป 3 วินาที

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับ  เมื่อปล่อยวัตถุไปแล้ว 3 วินาทีวัตถุจะเคลื่อนที่ได้

\begin{array}{lcl}s&=&16t^{2}\\s&=&16(3)^{2}\\s&=&144\quad metre\end{array}

2) ความเร็วขณะเวลา 2 วินาที

วิธีทำ  เนื่องจากระยะทางในขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(s=16t^{2}\)  ดังนั้น

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(\frac{ds}{dt}\)  พูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือต้องการหาความเร็วก็เอาระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ หรือว่า \(s\)  มาดิฟนั่นเองครับ

\begin{array}{lcl}v&=&\frac{ds}{dt}\\&=&\frac{d}{dt}(16t^{2})\\&=&16(2)t\\&=&32t\\so \quad when \quad t&=&2\\v&=&32(2)\\v&=&64\quad m/s\end{array}

ดังนั้นความเร็วขณะเวลา \(t=2\)  วินาที เท่ากับ  \(64\)  เมตรต่อวินาที

3)  ความเร่งขณะเวลา \(t\)  ใดๆ

วิธีทำ  ความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆ หาได้จาก  \(\frac{dv}{dt}\)  พูดเป็นภาษาชาวบ้านคือ ต้องการหาความเร่งก็เอาความเร็วหรือว่า  \(v\)  มาดิฟนั่นเอง

จาก \(v=32t\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\frac{dv}{dt}&=&\frac{d}{dt}(32t)\\&=&32\end{array}

ดังนั้นความเร่งขณะเวลา \(t\) ใดๆคือ \(32\quad m/s^{2}\)

4) ความเร่งขณะเวลา \(5\)  วินาที

วิธีทำ  จากข้อ 3) ความเร่งในขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ  \(32\)  เมตร/\(วินาที^{2}\)

ดังนั้นความเร่งในขณะเวลา 5  วินาที เท่ากับ \(32\)   เมตร/\(วินาที^{2}\)

ตัวอย่าง ในขณะเวลา \(t\) ใดๆ วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง \(-3t\)  \(เมตร/วินาที^{2}\) ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุชิ้นนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(1\) เมตร/วินาที และได้ระยะทาง \(3\) เมตร จงหา

1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา\(t\) ใดๆ

2) สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้

วิธีทำ  1) เนื่องจาก \(\frac{dv}{dt}=-3t\)

จะได้  \(v=\int (-3t)dt=\frac{-3t^{2}}{2}+c_{1}\) เมื่อ \(c_{1}\) เป็นค่าคงตัว ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1 เมตร/วินาที

นั่นคือ เมื่อ \(t=0,\quad v=1\)

จาก  \(v=\frac{-3t^{2}}{2}+c_{1}\)

จะได้ \(1=0+c_{1}\)  หรือ  \(c_{1}=1\)

ดังนั้น ความเร็วของวัตถุชิ้นนี้ขณะเวลา \(t\) ใดๆ คือ \(v=-\frac{3}{2}t^{2}+1\)

2) เนื่องจาก \(v=\frac{ds}{dt}=-\frac{3}{2}t^{2}+1\)

จะได้ \(s=\int\left(-\frac{3}{2}t^{2}+1\right)dt=-\frac{t^{3}}{2}+t+c_{2}\)

เมื่อ \(c_{2}\) เป็นค่าคงตัว

ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 3 เมตร

นั่นคือ  เมื่อ \(t=0,\quad s=3\)

จาก \(s=-\frac{t^{3}}{2}+t+c_{2}\)

จะได้ \(3=0+0+c_{2}\)

\(c_{2}=3\)

ดังนั้น สมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุชิ้นนี้คือ \(s=-\frac{t^{3}}{2}+t+3\)

7.ในขณะเวลา \(t\) ใดๆ วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง \(t^{2}+4t\) เมตรต่อ\(วินาที^{2}\) ขณะที่เริ่มต้นจับเวลาวัตถุชิ้นนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(4\) เมตรต่อวินาทีและได้ระยะทาง \(6\) เมตร จงหา

1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา \(t=3\) วินาที

2) ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่เมื่อเวลาผ่านไป 3 นาที

วิธีทำ โจทย์กำหนดความเร่งมาให้ ก็คือ \(a(t)=t^{2}+4t\) ดังนั้นเราสามารถหาความเร็ว\((v(t)\) ด้วยการอินทิเกรตความเร่ง\((a(t)\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}v(t)=\int{a(t)}dt&=&\int{(t^{2}+4t)}dt\\&=&\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}+c\end{array}

ต่อไปหาค่า \(c\) เนื่องจากโจทย์บอกว่าเมื่อเริ่มต้นจับเวลา \(t=0\) วัตถุความเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว \(4\) เมตรต่อวินาทีนั่นก็คือที่ \(t=0\) ค่า \(v(0)=4\) เริ่มหาค่า \(c\) เลยครับ

\begin{array}{lcl}v(t)&=&\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}+c\\v(0)&=&\frac{0}{3}+2(0)+c\\4&=&c\end{array}

ดังนั้นความเร็วของวัตถุขณะเวลา\(t=3\) วินาทีคือ

\begin{array}{lcl}v(3)&=&\frac{3^{3}}{3}+2(3)^{2}+4\\&=&31 \quad m/s\end{array}

ต่อไปหาระยะทางการเคลื่อนที่หรือก็คือหา \(s(t)\) การหา \(s(t)\) ก็คือเอา \(v(t)\) ไปอินทิเกรตครับผม เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}s(t)=\int{v(t)}dt&=&\int{(\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}+4)}dt\\&=&\frac{t^{4}}{12}+\frac{2t^{3}}{3}+4t+c\end{array}

ต่อไปหาค่า\(c\) ครับ เนื่องจากที่เริ่มต้นจับเวลา \((t=0)\) วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง \(6\) เมตร นั่นก็คือที่ \(t=0\) ได้ \(s(0)=6\) นั่นเองคับ เอาละหาค่า \(c\) กันเลย

\begin{array}{lcl}s(t)&=&\frac{t^{4}}{12}+\frac{2t^{3}}{3}+4t+c\\s(0)&=&\frac{0}{12}+\frac{0}{3}+4(0)+c\\6&=&c\end{array}

ดังนั้น \(c=6\)  เมื่อได้ค่า c แล้วต่อไปเราก็หาได้แล้วว่าเมื่อเวลาผ่านไป 3 วินาทีวัตถุจะเคลื่อนที่ได้เท่าใด

\begin{array}{lcl}s(t)&=&\frac{t^{4}}{12}+\frac{2t^{3}}{3}+4t+6\\s(3)&=&\frac{3^{4}}{12}+\frac{2(3)^{3}}{3}+4(3)+6\\&=&\frac{81}{12}+\frac{54}{3}+12+6\\&=&42.75\quad m\end{array}

8.ให้ \(s(t)=2t^{3}-t+5\) เป็นฟังก์ชันแสดงตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวตรง (มีหน่วยเป็นเมตร) ขณะเวลา \(t\) วินาที จงหาระยะห่างของวัตถุจากตำแหน่งเริ่มต้น ความเร็วและความเร่งของวัตถุขณะเวลา \(1\) วินาที

วิธีทำ  อ่านโจทย์ดีๆและค่อยๆตอบคำถามทีละข้อนะคับ  เริ่มทำเลย

1) ระยะห่างของวัตถุจากตำแหน่งเริ่มต้น ขณะเวลา 1 วินาที ความหมายก็คือให้หา \(|s(1)-s(0)|\) จะได้ว่า

\(s(0)=2(0)^{3}-0+5=5\)  เมตร

\(s(1)=2(1)^{3}-1+5=6\)  เมตร

นั่นก็คือ

ระยะห่างของวัตถุจากตำแหน่งเริ่มต้น ขณะเวลา 1 วินาที \(|s(1)-s(0)|=|6-5|=|1|=1\)

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา 1 วินาที คือ

\begin{array}{lcl}s^{\prime}(t)&=&6t^{2}-1\\v(t)&=&6t^{2}-1\\v(1)&=&6(1)-1\\&=&5\quad m/s\end{array}

ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 1 วินาที คือ

\begin{array}{lcl}s^{\prime\prime}(t)&=&12t\\a(t)&=&12t\\a(1)&=&12(1)\\&=&12\quad m/s^{2}\end{array}

9. โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นจากพื้นดินในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 98 เมตรต่อวินาที ถ้ากำหนดความเร่งโน้งถ่วงของโลกเท่ากับ -9.8 เมตรต่อวินาที² และขณะที่เริ่มต้นจับเวลา ตำแหน่งของวัตถุอยู่ที่ศูนย์ จงหา

1) ตำแหน่งของวัตถุขณะเวลา t ใดๆ

2) เวลาที่วัตถุขึ้นไปถึงตำแหน่งสูงสุด และตำแหน่งสูงสุดของวัตถุ

3) เวลาที่วัตถุอยู่ในตำแหน่งที่สูงจากพื้นดิน 249.9 เมตร

วิธีทำ จากที่อ่านโจทย์จะได้ว่า \(v(0)=98 m/s\)  และ \(s(0)=0\)  ต่อไปมาตอบคำถามทีละข้อกันครับผม

\begin{array}{lcl}a(t)&=&-9.8\\v^{\prime}(t)&=&-9.8\\and\quad then\\v(t)&=&\int v^{\prime}(t)dt=\int -9.8 dt\\v(t)&=&-9.8t+c_{1}\\and\\v(0)&=&-9.8(0)+c_{1}\\c_{1}&=&98\\so\\v(t)&=&-9.8t+98\\s^{\prime}(t)&=&-9.8t+98\\and\quad then\\s(t)&=&\int s^{\prime}(t)dt=\int (-9.8t+98)dt\\s(t)&=&-4.9t^{2}+98t+c_{2}\\s(0)&=&(-4.9)(0)+98(0)+c_{2}\\c_{2}&=&0\\so\\s(t)&=&-4.9t^{2}+98t\end{array}

นั่นก็คือตำแหน่งวัตถุ ณ เวลา t ใดคือ \(s(t)=-4.9t^{2}+98t\)

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน,สูตรดิฟ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(6x^{4}-4x^{3})\\&=&24x^{3}-12x^{2}\end{array}

6) ถ้า \(c\) เป็นค่าคงตัว  และ \(f\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x)\)  แล้ว  \(cf)^{\prime}(x)=c(f^{\prime}(x)\)  พูดง่ายสูตรข้อนี้คือดึงค่าคงตัวออกก่อนแล้วค่อยหาอนุพันธ์หรือดิฟ

\(y=5x\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(5x)\\&=&5\frac{d}{dx}(x)\\&=&5(1)\\&=&5\end{array}

7) ถ้า \(f\)  และ \(g\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((fg)^{\prime}(x)=f(x)g^{\prime}(x)+g(x)f^{\prime}(x)\)

สูตรดิฟผลคูณที่เราชอบท่องกันว่าหน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

ตัวอย่างเช่น

\(y=x(x^{2}+3)\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}x(x^{2}+3)\\&=&x\frac{d}{dx}(x^{2}+3)+(x^{2}+3)\frac{d}{dx}(x)\\&=&x(2x)+(x^{2}+3)(1)\\&=&3x^{2}+3\end{array}

8) ถ้า \(f\)  และ \(g\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((\frac{f}{g})^{\prime}=\frac{g(x)f^{\prime}(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}}\) นี่คือสูตรการดิฟผลหารนะครับ เรามักท่องว่าล่างดิฟบน ลบ บนดิฟล่าง หาร ล่างกำลังสอง

ตัวอย่างเช่น

\(y=\frac{x}{x+1}\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{x}{x+1})\\&=&\frac{(x+1)\frac{d}{dx}(x)-((x)\frac{d}{dx}(x+1))}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{(x+1)-((x)(1)}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{1}{(x+1)^{2}}\end{array}

หลังจากที่เรียนรู้สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้วหรือสูตรดิฟแล้วต่อไปก็ทำแบบฝึกหัดต่อที่ลิงค์นี้เลยครับ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือการดิฟ