กฎของไซน์

\begin{array}{lcl}\frac{\sin 75^{\circ}}{20}&=&\frac{\sin 60^{\circ}}{c}\\c&=&\frac{20\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}\\&=&\frac{20\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}\\&=&\frac{10\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}\\&=&10\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)\\&=&17.93\end{array}

2.  จงหาส่วนที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม ABC โดยใช้กฎของไซน์

เมื่อกำหนดให้ \(a=4,b=8,\hat{A}=30^{\circ}\)

วิธีทำ จาก

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\sin B&=&\frac{b\sin A}{a}\\\sin B&=&\frac{8\sin 30^{\circ}}{4}\\\sin B&=&2\times \frac{1}{2}\\\sin B&=&1\end{array}

เนื่องจาก

\(\sin 90^{\circ}=1\)

นั่นคือ

\(\hat{B}=90^{\circ}\) ครับ

จาก

\begin{array}{lcl}\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}&=&180^{\circ}\\30^{\circ}+90^{\circ}+\hat{C}&=&180^{\circ}\\\hat{C}&=&180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}\\\hat{C}&=&60^{\circ}\end{array}

นั่นคือ

\(\hat{C}=60^{\circ}\)

ต่อไปเมื่อหา มุมครบทั้ง 3 มุมแล้วก็หาความยาวของด้าน c ครับ วิธีการหาก็ง่ายๆครับเริ่มหากันเลยเริ่มต้นหาจากอันนี้ครับ

\(\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}\)

เริ่มทำกันเลย ก็แค่แทนค่าสิ่งที่เรารู้ลงไปครับ

\begin{array}{lcl}\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}\\c&=&\frac{a\sin C}{\sin A}\\c&=&\frac{4\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\\c&=&\frac{4\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\\c&=&\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\\c&=&2\sqrt{3}\times 2\\c&=&4\sqrt{3}\end{array}

ดังนั้นจากตรงนี้เราจึงสรุปได้ว่า สามเหลี่ยม ABC  นี้

มุม \(\hat{A}=30^{\circ}\)

มุม \(\hat{B}=90^{\circ}\)

มุม \(\hat{C}=60^{\circ}\)

ด้าน \(a\) ยาว 4  หน่วย

ด้าน \(b\)  ยาว 8  หน่วย

ด้าน \(c\) ยาว  \(4\sqrt{3}\)  หน่วย

3.กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน AC

วิธีทำ ใช้กฎของไซน์ \(\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}\)

จากรูป 

\(\hat{B}=180^{\circ}-30^{\circ}=135^{\circ}\) และ

\(sin 135^{\circ}=sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

แทนค่าลงไปใน สูตรกฎของไซน์จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{sin A}{a}&=&\frac{sin B}{b}\\\frac{sin 30^{\circ}}{6}&=&\frac{sin 45^{\circ}}{AC}\\AC&=&\frac{sin 45^{\circ}\times 6}{sin 30^{\circ}}\\AC&=&6\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times 2\\AC&=&6\sqrt{2}\end{array}

4.กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงหาความยาวด้าน BC

วิธีทำ  จากรูป

ใช้กฎของไซน์จะได้ว่า  \(\frac{sin A}{a}=\frac{sin C}{c}\)

แทนค่าต่างๆลงไปจะได้ 

\begin{array}{lcl}\frac{sin 60^{\circ}}{BC}&=&\frac{sin 45^{\circ}}{4}\\BC&=&\frac{4\times sin 60^{\circ}}{sin 45^{\circ}}\\BC&=&4\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{2}\\BC&=&2\sqrt{6}\end{array}

5.  กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี \(a=6,\quad b=7\) และ \(cos A=-\frac{3}{5}\) จงหาค่าของ \(sin B\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหน่อยหนึ่งคือ \(sin^{2}A+cos^{2}A=1\)

ควรวาดรูปประกอบด้วยถ้าใครมองภาพไม่ออกครับ เริ่มทำกันต่อเลย

\begin{array}{lcl}sin^{2}A+cos^{2}A&=&1\\sin^{2}A&=&1-cos^{2}A\\sin A&=&\sqrt{1-cos^{2}A}\\sin A&=&\sqrt{1-(-\frac{3}{5})^{2}}\\sin A&=&\frac{4}{5}\end{array}

เอาไปแทนค่าในกฎของไซน์

\begin{array}{lcl}\frac{sin A}{a}&=&\frac{sinB}{b}\\\frac{4}{5\times 6}&=&\frac{sin B}{7}\\sin B&=&\frac{14}{15}\end{array}

นี่คือการใช้กฎของไซน์ครับคล้ายๆกฎของกฎของโคไซน์ อย่างไรก็ลองอ่านดูครับไม่ยากครับ

6.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี \(A\hat{C}B=60^{\circ}\) ลากเส้นตรงจากจุด \(A\) ไปพบด้าน \(BC\) ที่จุด \(D\) โดยทำให้ \(B\hat{A}D=30^{\circ}\) ถ้าระยะ \(BD\) ยาว \(3\) หน่วย และระยะ \(AD\) ยาว \(2\) หน่วย แล้ว ระยะ \(CD\) ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
2. \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
3. \(\frac{7\sqrt{6}}{9}\)
4. \(\frac{8\sqrt{6}}{9}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปครับเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน สิ่งที่โจทย์ให้หาคือความยาวของ \(CD\) ผมกำหนดให้ยาว \(CD\) ยาว \(m\) แสดงว่าเรากำลังหาความยาวของ \(m\) นั่นเองคับ

ข้อนี้ต้องความรู้เรื่องของ กฎของไซน์  หรือ กฎของโคไซน์  แต่ผมขอใช้กฎของไซน์นะคับน่าจะง่ายกว่า

จากรูปที่เราวาดเราจะเห็นว่า \(x^{\circ}+y^{\circ}=90^{\circ}\)

จากกฎของไซน์จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{\sin x}{m}&=&\frac{\sin 60^{\circ}}{2}\\\frac{\sin x}{m}&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}\\m&=&\frac{4\sin x}{\sqrt{3}}\\m&=&\frac{4\sqrt{3}\sin x}{3}\quad \cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน ต่อไปเราก็ต้องไปหาค่าของ \(\sin x\) กันคับ

เราจะเห็นค่าของ \(\sin x\) โดยกฎของไซน์ ดูจากรูปนะคับ

\begin{array}{lcl}\frac{\sin y}{2}&=&\frac{\sin 30^{\circ}}{3}\\\frac{\sin y}{2}&=&\frac{1}{6}\\\sin y&=&\frac{1}{3}\\from\quad x^{\circ}+y^{\circ}=90^{\circ}\\so\quad y^{\circ}=90^{\circ}-x^{\circ}\\then\\\sin(90^{\circ}-x)&=&\frac{1}{3}\\\cos x&=&\frac{1}{3}\end{array}

วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากรูปจะได้ \(\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}\) เอาค่า \(\sin x\) ที่ได้นี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{4\sqrt{3}\sin x}{3}\\m&=&\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\\m&=&\frac{8\sqrt{6}}{9}\quad\underline{Ans}\end{array}

การหาระยะทางและความสูง

\begin{array}{lcl}CD&=&BD sin 75^{\circ}\\&=&(\frac{AB sin 15^{\circ}}{sin 60^{\circ}})sin 75^{\circ}\\&=&60\times \frac{2}{\sqrt{3}}sin 15^{\circ}sin 75^{\circ}\\&=&\frac{60}{\sqrt{3}}\times 2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}\\&=&\frac{60\sqrt{3}}{3} sin 2(15^{\circ})\\&=&20\sqrt{3} sin 30^{\circ}\\&=&20\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\\&=&10\sqrt{3}\\&\approx&17.32\end{array}

นั่นคือ เสาธงมีความสูงเหนือระดับสายตายเนตรเท่ากับ 17.32 เมตร

นั่นคือ เสาธงนี้มีความสูงจริงๆเท่ากับ \(17.32+1.50=18.82 \) เมตร

ตัวอย่างที่ 3 จากหน้าผาซึ่งสูง 200 เมตร เหนือระดับน้ำทะเล ผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งมองเห็นเรือสองลำทอดสมออยู่ในทะเลเป็นมุมก้ม 40 องศา และ 60 องศา ตามลำดับ เส้นระดับสายตาเส้นเดียวกัน อยากทราบว่าเรือทั้งสองลำนั้นอยู่ห่างกันเท่าใด

วิธีทำ

ให้ CD เป็นหน้าผาสูง 200 เมตร

A และ B เป็นเรือสองลำ ให้เรือทั้งสองห่างกัน \(x\) เมตร โดยใช้ความรู้เรื่องเส้นขนาน จะได้ว่า 

\(D\hat{A}C=40^{\circ}\) และ \(D\hat{B}C=60^{\circ}\)

ฉะนั้น \(A\hat{D}B=60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}\)

ใน \(\triangle{BCD}\) เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl} sin C\hat{B}D&=&\frac{CD}{BD}\\sin 60^{\circ}&=&\frac{200}{BD}\\\frac{\sqrt{3}}{2}&=&\frac{200}{BD}\\BD&=&\frac{200}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\BD&=&\frac{400\sqrt{3}}{3}\end{array}

ทำต่ออีก  ใน \(\triangle{ADB}\) เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{sin A\hat{D}B}{x}&=&\frac{sin B\hat{A}D}{BD}\\\frac{sin 20^{\circ}}{x}&=&\frac{sin 40^{\circ}}{BD}\\x&=&\frac{BDsin 20^{\circ}}{sin 40^{\circ}}\\x&=&\frac{400\sqrt{3}}{3}\times \frac{sin 20^{\circ}}{2sin 20^{\circ}cos 20^{\circ}}\\x&=&\frac{400\sqrt{3}}{3}\times \frac{1}{2 cos 20^{\circ}}\\x&\approx&122.88\end{array}

นั่นคือ เรือสองลำหางกันประมาณ 122.88 เมตร

ลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับผม

1. พิเชษฐ์ยืนอยูห่างจากตึกหลังหนึ่ง 18 เมตร มองเห็นยอดตึกและยอดเสาอากาศซึ่งอยู่บนยอดตึกเป็นมุมเงย \(30^{\circ}\) และ \(60^{\circ}\) ตามลำดับ จงหาความสูงของเสาอากาศ

วิธีทำ   จากรูปกำหนดให้ \(BC\) เป็นความสูงของตึก

\(CD\) เป็นความสูงของเสาอากาศ

\(A\) เป็นจุดที่พิเชษฐ์มองยอดตึกและยอดเสาอากาศ

มุมเงย \(BAC=30^{\circ}\) และมุมเงย \(BAD=60^{\circ}\)

จะเห็นว่าใน \(\triangle{ABD}\) จะได้

\begin{array}{lcl}BD&=&AB\tan 60^{\circ}\\&=&18\sqrt{3}\end{array}

ใน \(\triangle{ABC}\) จะได้

\begin{array}{lcl}BC&=&AB\tan 30^{\circ}\\&=&\frac{18}{\sqrt{3}}\\&=&6\sqrt{3}\end{array}

ดังนั้นจากรูปจะได้ว่า \(DC=18\sqrt{3}-6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\)

2. เรือสองลำทอดสมออยู่ห่างกัน 60 เมตร และอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันกับประภาคาร ทหารในเรือแต่ละลำมองเห็นยอดประภาคารเป็นมุมเงย \(45^{\circ}\) และ \(30^{\circ}\) จงหาว่าเรือลำที่อยู่ใกล้ประภาคารอยู่ห่างจากประภาคารเท่าไร

วิธีทำ จากรูป กำหนดให้ \(AB\) เป็นประภาคารหลังนี้

ให้ \(C\) และ \(D\) เป็นตำแหน่งที่เรือสองลำจอดอยู่ห่างกัน \(60\) เมตร

มุมเงย \(ACB=45^{\circ}\) และมุมเงย \(ADB=30^{\circ}\)

พิจารณา \(\triangle{ABC}\) จะได้

\begin{array}{lcl}BC&=&\frac{AB}{\tan 45^{\circ}}\\BC&=&AB\end{array}

พิจารณา \(\triangle{ABD}\) จะได้

\begin{array}{lcl}BD&=&\frac{AB}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3} AB\end{array}

จากรูปจะเห็นว่า \(BD-BC=CD\)

นั่นคือ \(\sqrt{3}AB-AB=60\)

เนื่อง \(\sqrt{3}\approx 1.732\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}1.732AB-AB&=&60\\0.732AB&=&60\\AB&=&\frac{60}{0.732}\\AB&\approx&81.97\end{array}

อย่าลืมนะ \(AB=BC\) นั่นคือเรือลำที่อยู่ใกล้ประภาคารอยู่ห่างจากประภาคาร \(81.97\) เมตร

3. \(A\) และ \(B\) เป็นจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันของบึงแห่งหนึ่ง \(C\) เป็นจุดๆหนึ่งบนพื้นราบเดียวกัน ถ้าระยะ \(CA\) และ \(CB\) เท่ากับ \(3.2\) และ \(2.4\)   กิโลเมตร ตามลำดับ และวัดมุม \(ACB\) ได้ \(75^{\circ}\) จงหาความกว้างของบึงตามแนว \(AB\)

วิธีทำ ข้อนี้ใช้กฎของโคไซน์ ได้เลยครับ จากรูปถ้าใช้กฎของโคไซน์จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}AB^{2}&=&AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC \cos 75^{\circ}\\&=&(3.2)^{2}+(2.4)^{2}-2\times 3.2\times 2.4\times 0.2588\\&=&10.24+5.76-3.98\\AB&\approx&3.47\end{array}

นั่นคือ บึงกว้าง \(3.47\) กิโลเมตร

4.กำหนดให้ \(ABC\) เป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี \(A\hat{C}B=60^{\circ}\) ลากเส้นตรงจากจุด \(A\) ไปพบด้าน \(BC\) ที่จุด \(D\) โดยทำให้ \(B\hat{A}D=30^{\circ}\) ถ้าระยะ \(BD\) ยาว \(3\) หน่วย และระยะ \(AD\) ยาว \(2\) หน่วย แล้ว ระยะ \(CD\) ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
2. \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
3. \(\frac{7\sqrt{6}}{9}\)
4. \(\frac{8\sqrt{6}}{9}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องวาดรูปครับเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน สิ่งที่โจทย์ให้หาคือความยาวของ \(CD\) ผมกำหนดให้ยาว \(CD\) ยาว \(m\) แสดงว่าเรากำลังหาความยาวของ \(m\) นั่นเองคับ

ข้อนี้ต้องความรู้เรื่องของ กฎของไซน์  หรือ กฎของโคไซน์  แต่ผมขอใช้กฎของไซน์นะคับน่าจะง่ายกว่า

ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (70)