ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์(15)

เฉลย PAT1 เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ

\(\frac{sinA}{\sqrt{6}}=\frac{sinB}{1}\)  ต่อไปก็แก้สมการเพื่อหาค่าของ \(sinB\) ออกมาก็จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{sinA}{\sqrt{6}}&=&\frac{sinB}{1}\\\frac{sin 60^{\circ}}{\sqrt{6}}&=&\frac{sinB}{1}\\sinB&=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{array}

เก็บค่าของ \(sinB\) เอาไว้ก่อนครับ ต่อไปเราก็ไปดูว่าโจทย์ให้เราหาอะไร  โจทย์ให้เราหาค่าของ \(cos2B\) ซึ่งเป็นมุมสองเท่าอีกแล้ว จำเป็นต้องจำสูตรสูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ได้นะครับ ซึ่งมุมสองเท่าของฟังก์ชันคอสก็จะมีหลายสูตรเลือกมาใช้ให้ถูกแล้วกันก็จะมีดังนี้

\begin{array}{lcl}cos2B&=&cos^{2}B-sin^{2}B\\&=&2cos^{2}B-1\\&=&1-2sin^{2}B\end{array}

ดังนั้นจากสิ่งที่เรามีอยู่คือ \(sinB=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)  เราต้องใช้สูตรนี้นั่นเอง

\begin{array}{lcl}cos2B&=&1-2sin^{2}B\\&=&1-2(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2}\\&=&1-2(\frac{1}{8})\\&=&1-\frac{2}{8}\\&=&\frac{3}{4}\end{array}

3. ให้ \(-1\leq x\leq 1\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(arccosx-arcsinx=\frac{\pi}{2552}\)  แล้วค่าของ \(sin\frac{\pi}{2552}\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(2x\)
2. \(1-2x^{2}\)
3. \(2x^{2}-1\)
4. \(-2x\)

วิธีทำ    จาก \(arccos x-arcsin x=\frac{\pi}{2552}\)  เราจะ take ฟังก์ชันไซน์เข้าไปทั้งสองข้างนะ จะได้

\(sin(arccos x- arcsin x)=sin(\frac{\pi}{2552})\)

และเพื่อความง่ายผมจะแทนค่าด้วยตัวแปรดังต่อไปนี้ คือ

ให้

\(arccos x=A\rightarrow cosA=x\)

\(arcsin x=B\rightarrow sinB=x\)

เราจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}sin(A-B)&=&sin(\frac{\pi}{2552})\\sinAcosB-cosAsinB&=&sin\frac{\pi}{2552}\\(\sqrt{1^{2}-x^{2}})(\sqrt{1^{2}-x^{2}})-(x)(x)&=&sin(\frac{\pi}{2552})\\sin(\frac{\pi}{2552})&=&1^{2}-x^{2}-x^{2}\\sin(\frac{\pi}{2552})&=&1-2x^{2}\end{array}

4. ค่าของ \(\left(\frac{sin30^{\circ}}{sin10^{\circ}}-\frac{cos30^{\circ}}{cos10^{\circ}}\right)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Pat1 ก.ค.52/11)

1. -1
2. 1
3. 2
4. -2

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องคิดไรมากสิ่งที่ทำได้คือ การคูณไขว้ ดังนั้นจับคูณไขว้ก่อนเลยคับจะได้

\[\frac{sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\]

จากที่เราคูณไขว้กันข้างบน ถ้ามองดูดีๆ เราจะเห็นว่ามันเข้ากับสูตรนี้ใช่ไหม

\(sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB\) ดังนั้น

\(sin(30^{\circ}-10^{\circ})=sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}\)

และสำหรับตัวส่วนสิ่งที่เราต้องมองให้เห็นคือ สูตรของมุมสองเท่าคือ

\(2sinAcosA=sin2A\) ดังนั้น

\(2sin10^{\circ}cos10^{\circ}=sin2(10^{\circ})=sin20^{\circ}\)

ทำต่อเลยนะอย่างไรก็ทำความเข้าใจ ไม่ได้ก็ถามได้ครับ

\begin{array}{lcl}\frac{sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}&=&\frac{sin(30^{\circ}-10^{\circ})}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{sin20^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{2sin20^{\circ}}{2sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{2sin20^{\circ}}{sin20^{\circ}}\\&=&2\end{array}

5. ถ้า \((sin\theta +cos\theta)^{2}=\frac{3}{2}\) เมื่อ \(0 \leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\) แล้ว \(arccos(tan3\theta)\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ  แน่นอนการทำข้อนี้ต้องยกกำลังสองดูก่อนคับ

\begin{array}{lcl}(sin\theta +cos\theta)^{2}&=&\frac{3}{2}\\sin^{2}\theta+2sin\theta cos\theta+cos^{2}\theta&=&\frac{3}{2}\\2sin\theta cos\theta&=&\frac{3}{2}-1\\sin2\theta&=&\frac{1}{2}\end{array}

เนื่องจาก  \(0 \leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\)

ดังนั้น   \(0\leq 2\theta\leq\frac{\pi}{2}\) [เอา 2 คูณเข้า]

จากสมการข้างบนเรารู้ว่า \(sin2\theta=\frac{1}{2}\)   และ \(2\theta\) ต้องอยู่ในช่วง \(0\leq 2\theta\leq\frac{\pi}{2}\)

จาก \(sin2(15^{\circ})=\frac{1}{2}\)  ดั้งนั้น \(\theta=15^{\circ}\)

โจทย์ให้เรา หาค่าของ \(arccos(tan3\theta)\) เราก็เอา \(\theta=15^{\circ}\) แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}arccos(tan3\theta )&=&arccos(tan3(15^{\circ}))\\&=&arccos(tan45^{\circ})\\&=&arccos(1)\\&=&0^{\circ}\end{array}

6. ถ้า \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) สำหรับบาง \(x>0\) แล้วค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 พ.ย.57 ข้อ 29)

วิธีทำ ข้อนี้เรานำสมการ \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) มาแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(\sin^{2}x\) แสดงว่าตรงไหนที่เป็นค่า \(\cos x\) เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ \(\sin x\) ให้หมดครับ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า

\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) ดังนั้น

\(\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\) ครับผม

เริ่มแก้สมการกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(\cos^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(1-\sin^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\end{array}

เพื่อความสะดวกในการแก้สมการ ผมจะกำหนดให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{A^{2}}{5}+\frac{(1-A)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{A^{2}}{5}+\frac{1-2A+A^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{7A^{2}+5(1-2A+A^{2})}{35}&=&\frac{1}{12}\\7A^{2}+5-10A+5A^{2}&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5-\frac{35}{12}&=&0\\144A^{2}-120A+60-35&=&0\\144A^{2}-120A+25&=&0\\(12A-5)(12A-5)&=&0\\so\\A&=&\frac{5}{12}\end{array}

จากที่เราให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้น

\[\color{red}{\sin^{2}x}=\color{red}{\frac{5}{12}}\]

ต่อไปโจทย์ให้เราหาค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) แต่ก่อนจะหาเราต้องทำการจัดรูปก่อนคับโดยใช้สูตรพวกมุมสองเท่า สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ

\(\sin 2x=2\sin x\cos x\) และ

\(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)

ดังนั้นจากที่โจทย์ให้หาเราจะได้ว่า

พิจารณา \(\sin^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\sin^{2}(2x)&=&(\sin 2x)^{2}\\&=&(2\sin x\cos x)^{2}\\&=&2^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x\\&=&4\sin^{2}x(1-\sin^{2}x)\\&=&4\times \frac{5}{12}\times (1-\frac{5}{12})\\&=&2\times \frac{5}{12}\times \frac{7}{12}\\&=&\frac{35}{36}\end{array}

ดังนั้น \(\sin^{2}(2x)=\frac{35}{36}\)

พิจารณา \(\cos^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\cos^{2}(2x)&=&(\cos 2x)^{2}\\&=&(\cos^{2}x-sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-\sin^{2}x-\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2(\frac{5}{12}))^{2}\\&=&(1-\frac{10}{12})^{2}\\&=&\frac{1}{36}\end{array}

ต่อไปเราเอาค่าที่เราหาด้านบนไปแทนในนี้ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}&=&\frac{35}{36}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{36}\times\frac{1}{7}\\&=&\frac{25}{126}\quad\underline{Ans}\end{array}

7. กำหนดให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงโดยที่ \(\sin x+\cos x=\frac{4}{3}\)

ถ้า \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนเต็มโดยที่ ห.ร.ม. ของ \(a\) และ \(b\) เท่ากับ \(1\) แล้ว \(a^{2}+b^{2}\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 มี.ค.56 ข้อ 28]

วิธีทำ ข้อนี้ใครที่ไม่เคยฝึกทำโจทย์เลย บอกเลยว่าเริ่มต้นไม่เป็นแน่นอน ฉะนั้นควรฝึกทำโจทย์เยอะๆจะได้เริ่มต้นถูกนะคับ  เริ่มต้นวิธีการทำคือ เอาสมการนีั \(\sin x+\cos x=\frac{3}{4}\) มายกกำลังสองครับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\sin x+\cos x&=&\frac{4}{3}\\(\sin x+\cos x)^{2}&=&(\frac{4}{3})^{2}\\\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x&=&\frac{16}{9}\\\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\1+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}-1\\2\sin x\cos x&=&\frac{7}{9}\\\sin x\cos x&=&\frac{7}{18}\quad\cdots (1)\end{array}

ก่อนจะทำต่อ เราต้องรู้สูตรพวกนี้ก่อนคับ

\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\)

\(\sec^{2}x-tan^{2}x=1\)

\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)

\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\)

ต่อไปเราก็เริ่มหาค่าของ \(a\) และ \(b\) ซึ่งก็เริ่มหาจากสมการนี้ \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เริ่มเลยคับ

\begin{array}{lcl}(1+\tan^{2}x)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(1+\sec^{2}-1)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(\frac{1}{\cos^{2}x})\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos^{2}}\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos x\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\sin x\cos x&=&\frac{b}{a}\\ from \quad (1)\\ \frac{7}{18}&=&\frac{b}{a}\\so\\b=7\quad and\quad a=18\\a^{2}=324\quad b^{2}=49\\a^{2}+b^{2}&=&324+49\\&=&373\quad\underline{Ans}\end{array}

8.ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(3\sin(x-y)=2\sin(x+y)\) แล้ว \((\tan^{3}x)(\cot^{3}y)\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.57 ข้อ 23)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากสามารถเก็บคะแนนได้แบบสบายๆ โดยใช้ความรู้ของพวกฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง  ต้องจำสูตรพวกนี้ให้ได้เช่น

\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]

\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]

เรามาเริ่มทำกันเลยครับเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้มาเลย

\begin{array}{lcl}3\sin(x-y)&=&2\sin(x+y)\\3\left[\sin x\cos y-\cos x\sin y\right]&=&2\left[\sin x\cos y+\cos x\sin y\right]\\3\sin x\cos y-3\cos x\sin y&=&2\sin x\cos y+2\cos x\sin y\\3\sin x\cos y-2\sin x\cos y&=&2\cos x\sin y+3\cos x\sin y\\\sin x\cos y&=&5\cos x\sin y\\\frac{\color{red}{\sin x}\color{green}{\cos y}}{\color{red}{\cos x}\color{green}{\sin y}}&=&5\\\color{red}{\tan x}\color{green}{\cot y}&=&5\\so\\\left[\tan x\cot y\right]^{3}&=&5^{3}\\\tan^{3}x\cot^{3}y&=&125\quad\underline{Ans}\end{array}

ดูคลิปประกอบครับ