concept ความน่าจะเป็น ม.3

เฉลยคณิตวิชาสามัญความน่าจะเป็น

3. \(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ลองกระจายดูก่อนคับ 

เอาที่โจทย์ให้มาไปกระจายดูเลย\(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\)

จะได้แบบนี้

\(=(-1)^{0}\binom{6}{0}7^{6-0}5^{0}+(-1)^{1}\binom{6}{1}7^{6-1}5^{1}+(-1)^{2}\binom{6}{2}7^{6-2}5^{2}+\cdots +(-1)^{6}\binom{6}{6}7^{6-6}5^{6}\)

\(=\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}\)

ซึ่งมันไปตรงกับสูตรทฤษฎีบททวินาม ไปอ่านดูตามลิงก์นะคับ นั่นก็คือ

\(\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}=(7-5)^{6}=2^{6}=64\)

4. กำหนดให้ \(S=\{1,2,3,\cdots ,10\}\) และ \(M=\{(x,y)|x,y\in S\}\) ถ้าสุ่มหยิบ \((x,y)\) จาก \(M\) มาหนึ่งตัวแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้ \((x,y)\) ซึ่ง \(x^{2}+y^{2}<25\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{13}{100}\)
2. \(\frac{15}{100}\)
3. \(\frac{17}{100}\)
4. \(\frac{19}{100}\)
5. \(\frac{21}{100}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราหาสมาชิกทั้งหมดในเซต \(M\) จะได้เท่ากับ \(10\times 10=100\) ตัว หน้าตาคร่าวของเซต \(M\) ก็จะประมาณนี้

\(M=\{(1,1),(1,2),(1,3),\cdots ,(10,10)\}\) ต่อไปเราก็ไปหาว่าคู่ไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วรวมกันมีค่าน้อยกว่า 25 ซึ่งก็จะมี

\((1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2)\) ก็คือคู่อันดับพวกนี้ ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ค่าน้อยกว่า 25 

อย่างเช่น \((3,2)\to 3^{2}+2^{2}=9+4=13<25\) ซึ่งนับแล้วแบบนี้มีทั้งหมด 13 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบสมาชิกใน \(M\) แล้วได้คู่อันดับที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันมีค่าน้อยกว่า 25 เท่ากับ \(\frac{13}{100}\) นั่นเอง

5.นักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน 30 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด A   5 คน ได้เกรดB  15 คน และได้เกรดC  10 คน ถ้าสุ่มนักเรียน 3 คน จากห้องนี้แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่ได้เกรด A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{44}{203}\)
2. \(\frac{55}{203}\)
3. \(\frac{66}{203}\)
4. \(\frac{77}{203}\)
5. \(\frac{88}{203}\)

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าทำแบบตรงๆ ยาก ดังนั้นเราก็แบบนี้คือ เอา 1 ลบออกด้วยความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียน 3 คนแล้วไม่ใครได้เกรด A สักคนเลย

มีนักเรียนอยู่ 30 คน จำนวนวิธีในการสุ่มนักเรียนมา 3 คนเท่ากับ \(\binom{30}{3}\) วิธี

มีนักเรียนอยู่ 25 คนที่ไม่ได้เกรดA จำนวนวิธีสุ่มนักเรียนมา 3 คนซึ่งสามคนนั้นไม่ได้เกรดAเลยเท่ากับ \(\binom{25}{3}\) วิธี

ดังนั้น

ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วสามคนนั้นไม่ได้เกรดA เลยเท่ากับ \(\frac{\binom{25}{3}}{\binom{30}{3}}=\frac{25\times 24\times 23}{30\times 29\times 28}=\frac{115}{203}\)

ตอนนี้ใกล้ได้คำตอบแล้ว

ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วได้เกรด A อย่างน้อย 1 คน จะเท่ากับ 1 ลบออกด้วย ความน่าจะเป็นจะที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วไม่ได้เกรด A เลยก็คือ

\(1-\frac{115}{203}=\frac{88}{203}\quad\underline{Ans}\)

6.ต้องการสร้างจำนวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัว คือ 1,2,3,3,4,5,6 โดยให้เลข 3 สองตัวติดกัน จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน

วิธีทำ  ข้อนี้หลักการทำ คือ เอาเลข 3 ที่มีสองตัวมามัดรวมกันเป็นหนึ่งมัด จะได้ว่ามีตัวเลขทั้งหมด 6 ตัว ก็คือนำตัวเลข 6 ตัวนี้มาการเรียงสับเปลี่ยนกันเพื่อให้ได้เลข 7 หลัก ซึงจะทำได้ทั้งหมด \(6!=720\) วิธี นั่นก็คือจะสร้างเลข 7 หลักที่มีเลข 3 สองตัวติดกันทั้งหมด \(720\) จำนวน

7. ในการกระจาย \(\left(x^{2}+\frac{2}{x^{3}})^{10}\right)\) โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่าพจน์ค่าคงตัวมีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   เราก็ใช้ทฤษฎีบททวินามกระจายพจน์นี้  พอเรากระจายไปเรื่อยๆ เราก็จะเจอพจน์ๆหนึ่งที่มีรูปแบบ แบบนี้

\(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) 

ต่อไปเราจะเห็นว่าการที่ไอ้ก้อนนี้ \(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) มันจะเป็นค่าคงตัว เลขชี้กำลังของ \(x\) มันต้องเป็น \(0\) ถูกต้องไหม

เราเอาไอก้อนนี้   \(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) มาจัดรูปนิดหน่อย จะได้

\begin{array}{lcl}\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}&=&\binom{10}{r}x^{(20-2r)}2^{r}x^{-3r}\\&=&\binom{10}{r}x^{(20-5r)}2^{r}\end{array}

ต่อไปเราจะได้ว่า เลขชี้กำลังของ \(x\) จะเป็น \(0\) ก็ต่อเมื่อ  \(20-5r=0\) นั่นก็คือถ้าเราแก้สมการจะได้ค่า \(r=4\)  ดังนั้นจะได้ว่า \(r=4\) จึงจะทำให้พจน์ที่ได้เป็นค่าคงตัว เราก็หาต่อเลยว่าค่าคงตัวที่ว่านั้นคือเลขอะไร เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\binom{10}{r}x^{20-5r}2^{r}&=&\binom{10}{4}x^{20-(5)(4)}2^{4}\\&=&210\cdot x^{0}\cdot 16\\&=&210\times 16\\&=&3360\end{array}

พจน์ค่าคงตัวที่ว่านั้นก็คือเลขนี้ครับ \(3360\) นั่นเอง

โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5

3.นักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงแถวหน้ากระดาน จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนชายและนักเรียนหญิงจะยื้นสลับกัน

วิธีทำ 

n(S) คือ จำนวนวิธีจัดคน 8 คนยืนสลับที่กัน

n(S)=8!

n(E)  คือ จำนวนวิธีจัดคนให้ยืนโดยที่หญิง ชาย ยืนสลับกัน

n(E)=4!4!2

ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{4!4!2}{8!}\)

4.กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 13 ลูก เป็นสีแดง 6 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีเหลือง 3 ลูก โดยที่ลูกแก้วทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วออกมา 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีต่างกันทั้ง 3 ลูก

วิธีทำ

\(n(S)=\binom{13}{3}=\frac{13!}{(13-3)!3!}=286\)

\(n(E)=\binom{6}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}=72\)

\(P(E)=\frac{72}{286}\) 

5.ชายคนหนึ่งมีเสื้ออยู่ 5 ตัว เป็นเสื้อสีขาว 3 ตัว สีฟ้า 2 ตัว และมีกางเกงขายาว 4 ตัว เป็นกาเกงสีขาว 1 ตัว สีเทา 3 ตัว ถ้าชายคนนี้แต่งตัวออกจากบ้านโดยไม่เจาะจงแล้ว จงหาความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกัน

วิธีทำ 

n(S) คือจำนวนวิธีในการแต่งตัวทั้งหมด มีเสื้อให้เลือก 5  ตัว และมีกางเกงให้เลือก  4 ตัว ดังนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวมีทั้งหมดคือ \(5\times 4 =20 \)  วิธี  อันนี้ใช้กฎการคูณในการคิด

นั่นคือ  n(S)=20

n(E) คือจำนวนวิธีที่ชายคนนี้แต่งตัวโดยเสื้อและกางเกงสีต่างกัน จะแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี

กรณี 1  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีขาว

เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 3  วิธีแต่กางเกงเขาห้ามเป็นสีขาวฉนั้นเขาต้องใส่กางเกงเทาเลือกได้ 3 วิธีเพราะกางเกงสีเทามีสามตัว จำนวนวิธีทั้งหมดในการแต่งตัวแบบนี้คือ  \(3\times 3=9\)

กรณี 2  คือชายคนนี้แต่งตัวโดยใส่เสื้อสีฟ้า

เพราะฉะนั้นเขาเลือกใส่เสื้อได้ 2 วิธีและกางเกงเขาใส่กางเกงสีขาวก็ได้ สีเทาก็ได้ทำได้ 4 วิธีเพราะฉะนั้นจำนวนวิธีในการแต่งตัวแบบนี้คือ \( 2\times 4=8\)

ดังนั้น n(E)=9+8=17

ความน่าจะเป็นที่ชายคนนี้จะสวมเสื้อและกางเกงสีต่างกันคือ \(P(E)=\frac{17}{20}\)

6.ตะกร้าใบหนึ่งมีส้ม มังคุดและมะม่วงรวมกัน 10 ลูก โดยที่จำนวนส้มเป็นสองเท่าของจำนวนมังคุดและมีมะม่วง 1 ลูก โดยที่ผลไม้ทุกลูกแตกต่างกัน ถ้าหยิบผลไม้อย่างไม่เจาะจงจากตะกร้าใบนี้จำนวน 3 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละ 1 ลูก

วิธีทำ  มะม่วงมีจำนวน 1 ลูก มังคุดไม่รู้มีกี่ลูกให้มังคุดมีจำนวน x ลูก ฉะนั้นส้มมีจำนวนเป็น 2x

ผลไม้รวมกันมีจำนวน 10 ลูก จะได้ว่า 1+x+2x=10  , x=3 นั่นคือมังคุดมีจำนวน 3 ลูก ส้ม 6ลูก

จึงได้ว่า

\(n(S)=\binom{10}{3}=240\)

\(n(E)=\binom{1}{1}\binom{3}{1}\binom{6}{1}=18\)

ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ผลไม้ชนิดละหนึ่งลูก คือ \(P(E)=\frac{18}{240}=\frac{3}{40}\) 

7.ถ้าความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษเป็น 0.6 และ 0.5 ตามลำดับ และความน่าจะเป็นที่จะผ่านอย่างน้อย 1 วิชา เป็น 0.8 จงหาความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชานี้

วิธีทำ ถ้าวาดแผนภาพเวน-ออยเลอร์ช่วยจะดูง่ายนะข้อนี้

ให้ x คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยสอบผ่านทั้งสองวิชาดังนั้นจะได้ตามรูป

โจทย์บอกว่าความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านอย่างน้อย 1 วิชา คือ 0.8 ความหมายของประโยคนี้คือสอบผ่านหนึ่งวิชาก็ได้หรือสอบผ่านทั้งสองวิชาก็ได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า

(0.6-x)+x+(0.5-x)=0.8

1.1-x=0.8

      x=0.3

นั่นก็คือความน่าจะเป็นที่นายธงชัยจะสอบผ่านทั้งสองวิชาคือ 0.3  นั่นเอง

8.มีนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 120 คน ในจำนวนนี้พบว่ามีนักเรียนทีี่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 60 คน มีนักเรียนที่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษจำนวน 50 คน และมีนักเรียนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชา 20 คน ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนจากกลุ่มนี้มา 1 คน แล้วจงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนที่เลือกมาจะ

1) ชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชา

2) ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

3) ชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

วิธีทำ วาดแผนภาพเวน-ออย์เลอร์  เหมือนข้อที่ผ่านมา จะได้

จากโจทย์จะได้ว่าชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว 40 คน

ชอบเรียนภาษาอังกฤษอย่างเดียว 30 คน

ชอบเรียนทั้งวิชาคณิตและอังกฤษจำนวน 20 คน

ดังนั้นมีคนที่รักในการเรียนทั้งหมด 40+30+20=90 คน แต่นักเรียนมีทั้งหมด 120 คน ดังนั้นจะได้ว่ามีนักเรียนจำนวน 120-90=30 คนที่ไม่ชอบเรียนวิชาอะไรเลยถ้าดูจากแผนภาพก็คือตัวเลขที่อยู่ข้างนอกวงกลมนั่นเอง

1)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาคือ

ต้องเข้าใจคำว่าชอบเรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชาก่อนนะครับก็คือชอบเรียนหนึ่งวิชาก็ได้ชอบเรียนสองวิชาก็ได้หรือชอบเรียนทั้งสองวิชาก็ได้ นั้นคือมีจำนวน 40+30+20=90 คน นั่นเอง

ดังนั้นความน่าจะเป็นสุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนที่สุ่มเลือกมาชอบเรียนอย่างน้อย 1 วิชาเท่ากับ

\(P(E)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}\)

2)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา

คนที่ชอบเรียนทั้งสองวิชามี 20 คนนะคับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ

\(P(E)=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}\)

3)ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วชอบเรียนคณิตศาสตร์แต่ไม่ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ

ก็คือชอบเรียนคณิตศาสตร์อย่างเดียว \(P(E)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\)

9. บ่อปลาแห่งหนึ่งเป็นรูปวงกลม อนุญาตให้เข้าตกปลาได้ครั้งละ 4 คน โดยให้นั่งอยู่รอบบ่อ ถ้าครอบครัวหนึ่งมากัน 7 คน ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ถ้าเราเห็นโจทย์ที่มีลักษณะจัดอะไรสักอย่างรอบบ่อหรืออะไรก็ตามที่เป็นวงกลมรำลึกไว้เลยว่ามันต้องเกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมแน่ไปอ่านให้เข้าใจก่อนนะครับ

ข้อนี้เขาให้หา ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอ

ดังนั้น  

\(n(S)\)  ของข้อนี้คือจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดคน 4 คนจากทั้งหมด 7 คนไปนั่งตกปลารอบบ่อ เอาละต่อไปเราจะเริ่มหา \(n(S)\) กันเลยครับ

จำนวนวิธีในการเลือกคน 4 คนจากทั้งหมด 7 คนจะเท่ากับ \(C_{7,4}=35\) วิธี  และเลือกแต่ละวิธีในจำนวนทั้งหมด 35 วิธีไปจัดนั่งตกปลารอบบ่อจะได้จำนวนวิธีทั้งสิ้น \(35(3!)\)  งงไหมเอ่ยถ้างงดูนี่

วิธีที่ 1 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี

วิธีที่ 2 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี

...   ....   ....   ....   ....   ....   ....

วิธีที่ 35 จัดคน 4 คนนั่งรอบบ่อได้ 3! วิธี เช่นกัน

ดังนั้นจำนวนวิธีนั่งการเลือกคน 4 คนจาก 7 คนมานั่งตกปลารอบบ่อมีจำนวนทั้งสิ้น \(35(3!)\)  วิธี

ต่อไปหา \(n(E)\)  ก็คือหาจำนวนวิธีที่การตกปลาครั้งหนึ่งจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอ

การคิดอันนี้ก็คือใช้หลักการง่ายๆครับมัดให้พ่อกับแม่อยู่รวมกันจากที่มีคนอยู่ 7 คน พ่อกับแม่มัดรวมกันเป็นมัดเดียวกันก็คือเป็นคนคนเดียวกันแล้วครับจะได้ว่ามีคนมาตกปลาเพียง 6 คนนั่นเองครับ ฉะนั้นจำนวนวิธีในการเลือกคน 4 คนจากทั้งหมด 6 คนเท่ากับ \(C_{6,4}=15\)  วิธี และในแต่ละวิธีใน 15 วิธีนำไปจัดให้นั่งตกปลารอบบ่อจะได้จำนวนวิธีทั้งหมด \(15(3!)\) วิธี 

ฉะนั้นจำนวนวิธีการนั่งตกปลาที่มีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเท่ากับ \(15(3!)\) วิธี

ดังนั้น  ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าตกปลาครั้งหนึ่งๆจะมีพ่อและแม่รวมอยู่ด้วยเสมอคือ

\(\frac{15(3!)}{35(3!)}=\frac{3}{7}\)  นั่นเองครับ

10. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 4 ลูก สีแดง 5 ลูก โดยลูกบอลทั้ง 9 ลูกมีขนาดและลัษณะเหมือนกัน สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้ 3 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูกมีค่าเท่าใด

วิธีทำ โจทย์แบบนี้กก็คือพวกหยิบลูกบอลสีต่างๆถือว่าเป็นโจทย์ยอดฮิตเลยทีเดียวครับเป็นโจทย์ที่ครูเขาชอบเอาไปออกข้อสอบครับแต่ไม่ยากผมจะทำให้ดูแล้วพวกเราก็สามารถนำไปขยายต่อยอดได้ครับ

โจทย์บอกว่าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้ 3 ลูกแสดงว่า

\(n(S)\)  คือจำนวนวิธีทั้งหมดในการสุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากลูกบอลทั้งหมด 9 ลูกจะได้ว่า

\(n(S)=C_{9,3}=\frac{9!}{6!3!}=84\)  วิธี

ส่วน \(n(E)\)  คือจำนวนวิธีในการหยิบได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูก อันนี้ต้องแยกคิดครับคำว่าหยิบได้อย่างมาก 2 ลูกความหมายก็คือหยิบได้ไม่เกิน 2 ลูกนั่นเองครับ ดังนั้น

กรณีที่ 1 กรณีที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ

\(C_{4,1}\times C_{5,2}=40\) วิธี  ความหมายของบรรทัดนี้ก็คือหยิบสีขาวมา 1 ลูกจากทั้งหมด 4 ลูกแล้วไปหยิบสีแดงอีก 2 ลูกจากทั้งหมด 5 ลูก

กรณีที่ 2 กรณีที่หยิบได้ลูกบอลสีขาว 2 ลูก จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ

\(C_{4,2}\times C_{5,1}=30\) วิธี 

กรณีที่ 3  กรณีที่หยิบไม่ได้ลูกบอลสีขาวเลย นั้นก็คือหยิบได้ลูกบอลสีแดงทั้งหมดคือ

\(C_{5,3}=10\)  วิธี

ดังนั้นในการหยิบจำนวนวิธีหยิบได้ลูกบอลได้เกิน 2 ลูกจะเท่ากับ \(40+30+10=80\) วิธี

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวอย่างมาก 2 ลูกมีค่าเท่ากับ\(\frac{80}{84}=\frac{20}{21}\)

สามารถฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็นเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้ต่อได้เลยครับฝึกทำโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5