1. กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:R\rightarrow R\) และ \(g:R\rightarrow R\) เป็นฟังก์ชัน โดยที่ \(f(x)=3x^{\frac{2}{3}}\) ,\(g(1)=8\) และ \(g^{\prime}(1)=\frac{2}{3}\) ค่าของ \((f\circ g)^{\prime}(1)\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 มี.ค.53/18]

วิธีทำ    

เนื่องจาก

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&f(g(x))\\&=&3\cdot (g(x))^{\frac{2}{3}}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(g(x))\\&=&\left(3\cdot (g(x))^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}\\&=&3\cdot \frac{2}{3}(g(x))^{-\frac{1}{3}}\cdot g^{\prime}(x)\end{array}

เพราะฉะนั้นจึงได้

\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{\prime}(1)&=&f^{\prime}(g(1))\\&=&\left(3\cdot (g(1))^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}\\&=&3\cdot \frac{2}{3}(g(1))^{-\frac{1}{3}}\cdot g^{\prime}(1)\\&=&2\cdot 8^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{2}{3}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}


2. ให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(f:R\rightarrow R\quad , g:R\rightarrow R\) และ \(h:R\rightarrow R\) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับโดยที่ \(h(x)=x^{2}+4\quad , g(x)=h(f(x)-1)\) และ \(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)=1\) แล้วค่าของ \(f(1)\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 มี.ค.55/18]

วิธีทำ 

เนื่องจาก \(h(x)=x^{2}+4\)

และ  \(g(x)=h(f(x)-1)\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}g(x)&=&h(f(x)-1)\\&=&[f(x)-1]^{2}+4\\&=&[f(x)]^{2}-2\cdot f(x)+1+4\\&=&[f(x)]^{2}-2\cdot f(x)+5\end{array}

ตอนนี้เรารู้ว่า \(g(x)=[f(x)]^{2}-2\cdot f(x)+5\)

จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}g^{\prime}(x)&=&2\cdot f(x)\cdot f^{\prime}(x)-2\cdot f^{\prime}(x)\end{array}

นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}g^{\prime}(1)&=&2\cdot f(1)\cdot f^{\prime}(1)-2\cdot f^{\prime}(1)\\1&=&2\cdot f(1)\cdot 1-2(1)\\f(1)&=&\frac{3}{2}\end{array}


3) กำหนดให้ \(\mathbb{R}\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}=6\) และ \(1+f(x)\geq 0\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) ถ้าเส้นตรง \(6x-y=4\) ตัดกับกราฟ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) แล้วค่าของ \(f^{\prime}(2)\) เท่ากับเท่าใด[Pat 1 ต.ค.58/33]

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาล แต่ใช้ไม่เยอะครับ  เอาละเรามาลองวิเคราะห์โจทย์และทำไปทีละขั้นตอนกันครับผม ซึ่งโจทย์บอกว่า เส้นตรง \(6x-y=4\) ตัดกราฟ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) นั่นคือกราฟสองกราฟนี้ตัดกันที่จุดต่อไปนี้

\begin{array}{lcl}6x-y&=&4\\6(2)-y&=&4\\y&=&8\end{array}

นั่นคือ กราฟสองกราฟนี้ตัดกันที่จุด \((2,8)\) นั่นเองครับหรือก็คือ \(f(2)=8\) นั่นเองครับ

ที่นี้เราไปดูต่อครับ จะเห็นว่าลิมิตที่เขาให้หาคือ 

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}\)

เมื่อแทนค่า \(x\) ด้วย \(2\) ลงไปในลิมิตนี้จะได้ค่าคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}&=&\frac{2^{2}+2-6}{\sqrt{2+f(2)}-3}\\&=&\frac{6-6}{\sqrt{1+8}-3}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}

นั่นก็คือการที่เราจะต้องใช้กฏโลปิตาลในการแก้โจทย์ข้อนี้ เพื่อหาค่า \(f^{\prime}(2)\) ออกมาให้ได้ครับ

เริ่มใช้กฏโลปิตาลกันเลยนั่นก็คือ หาอนุพันธ์ของตัวเศษก่อน

\(\frac{d}{dx}(x^{2}+x-6)=2x+1\)

ต่อไปก็คือหาหาอนุพันธ์ของตัวส่วน   หาอนุพันธ์ของตัวส่วนยากหน่อยเพราะต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(\sqrt{1+f(x)}-3)&=&\frac{d}{dx}(1+f(x))^{\frac{1}{2}}-3\\&=&\frac{1}{2}(1+f(x))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(x)\end{array}

เมื่อดิฟหรือใช้กฏโลปิตาลเสร็จแล้วเราก็หาลิมิตต่อครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+1}{\frac{1}{2}(1+f(x))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(x)}&=&\frac{2(2)+1}{\frac{1}{2}(1+f(2))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5}{\frac{1}{2}(1+8)^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5}{\frac{1}{2}(9)^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5\times (9)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5\times 3}{\frac{1}{2}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{15\times 2}{f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{30}{f^{\prime}(2)}\end{array}

แต่จากโจทย์เราจะเห็นว่าโจทย์กำหนดให้มาว่าลิมิตของข้อนี้มีค่าเท่ากับ \(6\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{30}{f^{\prime}(2)}&=&6\\f^{\prime}(2)&=&\frac{30}{6}\\f^{\prime}(2)&=&5\end{array}

ข้อนี้ตอบ \(5\) นั่นเองครับ


4) ให้ \(\mathbb{R}\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) เป็นฟังก์ชันโดยที่ \(f(3)=111\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{xf(x)-333}{x-3}=2013\) แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(f(x)\) เทียบกับ \(x\) ขณะที่ \(x=3\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 เม.ย.57/42]

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าอ่านโจทย์ดีๆ โจทย์ให้เราหา \(f^{\prime}(3)\) นั่นเองครับ ไปเริ่มหากันเลยครับการเริ่มต้นทำก็คือเริ่มต้นจากลิมิตที่โจทย์กำหนดมาให้นั้นเองครับ ซึ่งเราจะเห็นว่า 

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{xf(x)-333}{x-3}&=&\frac{3(111)-333}{3-3}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}

นั่นคือข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาลมาช่วยครับ จะได้ว่า

ดิฟตัวเศษก่อนได้ว่า

\(\frac{d}{dx}(xf(x)-333)=x\cdot f^{\prime}(x)+f(x)(1)\)

ดิฟตัวส่วนจะได้ว่า

\(\frac{d}{dx}(x-3)=1\)

ใช้กฏโลปิตาลได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x\cdot f^{\prime}(x)+f(x)}{1}&=&\frac{3\cdot f^{\prime}(3)+f(3)}{1}\\&=&3\cdot f^{\prime}(3)+111\end{array}

 แต่เนื่องจากลิมิตของข้อนี้โจทย์บอกว่ามีค่าเท่ากับ \(2013\) ดังนั้นจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}3\cdot f^{\prime}(3)+111&=&2013\\f^{\prime}(3)&=&\frac{2013-111}{3}\\f^{\prime}(x)&=&634\end{array}

ข้อนี้ตอบ \(634\)


5) ให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(f:R\rightarrow R\) เป็นฟังก์ชัน ที่สอดคล้องกับสมการ \(f(x+y)=f(x)+f(y)+3x^{2}y+3xy^{2}\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และ \(y\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=2\) ค่าของ \(f^{\prime}(1)+f^{\prime\prime}(5)\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 มี.ค.58/35]

วิธีทำ  จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ เขามีลิมิตมาให้เราด้วย และก็ให้เราอนุพันธ์อันดับต่างๆของฟังก์ชัน ฉะนั้นข้อนี้ให้เรานึกถึงนิยามของการหาอนุพันธ์หรือก็คืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย  เริ่มทำกันเลยครับ จากนิยามของการหาอนุพันธ์ เราได้ว่า

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}

และจากโจทย์

\(f(x+y)=f(x)+f(y)+3x^{2}y+3xy^{2}\) 

จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x)+f(h)+3x^{2}h+3xh^{2}-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)+3x^{2}h+3xh^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{f(h)}{h}+3x^{2}+3xh)\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}+\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(3x^{2}+3xh)\\&=&2+3x^{2}+0\\&=&3x^{2}+2\end{array}

hint: \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=2\)

ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}=2\)

จากทั้งหมดที่เราทำมาเราได้ว่า

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}+2\\f^{\prime}(1)&=&3(1)^{2}+2\\f^{\prime}(1)&=&5\end{array}

\begin{array}{lcl}f^{\prime\prime}(x)&=&6x\\f^{\prime\prime}(5)&=&6(5)\\f^{\prime\prime}(5)&=&30\end{array}

คำตอบของข้อนี้คือ

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(1)+f^{\prime\prime}(5)&=&5+30\\&=&35\end{array}


6) ให้ \(f\) และ \(g\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ \(f^{\prime}(x)=\frac{2x^{4}-x}{x^{3}}\) เมื่อ \(x\neq 0\)  

\(g(x)=(1+x^{2})f(x)\) และ \(g(1)=2\) ค่าของ \(\int_{-1}^{2}x^{3}g^{\prime\prime}(x)dx\) เท่ากับเท่าใด[Pat1 มี.ค.58/40]

วิธีทำ ข้อนี้ไม่น่ายากครับ เพราะเท่าที่เห็นก็ถามตรงๆไม่น่ามีอะไรที่ซับซ้อน เอาละเขาให้เราอินทิเกรตฟังก์ชัน g(x) เวลาหาคำตอบก็ต้องเริ่มที่ g(x) นี่แหละครับผม เริ่มกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}g(x)&=&(1+x^{2})f(x)\\g^{\prime}(x)&=&(1+x^{2})\cdot f^{\prime}(x)+f(x)\cdot 2x\\g^{\prime\prime}(x)&=&(1+x^{2})\cdot f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)\cdot 2x+f(x)\cdot 2+2x\cdot f^{\prime}(x)\end{array}

จากฟังก์ชัน \(g^{\prime\prime}(x)\) จะเห็นว่าเราติดพวก \(f(x),\quad f^{\prime\prime}(x)\) อยู่ด้วย ดังนั้น เราต้องหาพวกนี้ด้วยครับ ก็หาจาก \(f^{\prime}(x)=\frac{2x^{4}-x}{x^{3}}\) เริ่มต้นทำเลย

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\frac{2x^{4}-x}{x^{3}}\\f^{\prime}(x)&=&2x-x^{-2}\\\int f^{\prime}(x)&=&\int 2x-x^{-2}dx\\f(x)&=&\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{-1}}{-1}+c\\f(x)&=&x^{2}+x^{-1}+c\end{array}

โจทย์กำหนดให้ \(g(1)=2\)

จาก \(g(x)=(1+x^{2})f(x)\) แทน \(x=1\) จะได้

\begin{array}{lcl}g(1)&=&(1+1^{2})f(1)\\2&=&(2)(1^{2}+1^{-1}+c)\\1&=&2+c\\-1&=&c\end{array}

ดังนั้น \(f(x)=x^{2}+x^{-1}-1\) แทนใน \(g(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}g(x)&=&(1+x^{2})(x^{2}+x^{-1}-1)\\&=&x^{2}+x^{-1}-1+x^{4}+x-x^{2}\\g^{\prime}(x)&=&-x^{-2}+4x^{3}+1\\g^{\prime\prime}(x)&=&2x^{-3}+12x^{2}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\int_{-1}^{2}x^{3}g^{\prime\prime}(x)dx&=&\int_{-1}^{2}x^{3}(2x^{-3}+12x^{2})dx\\&=&\int_{-1}^{2}2+12x^{5}dx\\&=&2x+\frac{12x^{6}}{6}|_{-1}^{2}\\&=&(2(2)+2(2^{6})-(2(-1)+2(-1)^{6})\\&=&132-0\\&=&132\end{array}


7) ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริงโดยที่ \(f(2x-1)=4x^{2}-10x+a\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง และ \(f(0)=12\) ค่าของ \(\int_{1}^{4}f(x)dx\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 พ.ย.57/41]

วิธีทำ ข้อนี้แน่นอนทุกคนคงมองออกแล้ว่าต้องให้ \(f(x)\) ออกมาให้ได้ ซึ่งการหาก็ต้องอาศัยตัวนี้ครับคือ \(f(2x-1)\) ซึ่งวิธีการหาก็ทำดังต่อไปนี้

กำหนดให้ \(2x-1=m\) ดังนั้น \(x=\frac{m+1}{2}\)

จาก \(f(2x-1)=4x^{2}-10x+a\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}f(m)&=&4(\frac{m+1}{2})^{2}-10(\frac{m+1}{2})+a\\&=&m^{2}+2m+1-5(m+1)+a\\&=&m^{2}+2m+1-5m-5+a\\&=&m^{2}-3m-4+a\end{array}

เนื่องจาก \(f(m)=m^{2}-3m-4+a\)

ดังนั้น \(f(x)=x^{2}-3x-4+a\)

จาก \(f(x)=x^{2}-3x-4+a\)

จะได้ \(f(0)=0^{2}-3(0)-4+a\)   แต่ \(f(0)=12\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}12&=&0^{2}-3(0)-4+a\\a&=&16\end{array}

แทนค่า \(a=16\) ลงใน \(f(x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{2}-3x-4+a\\f(x)&=&x^{2}-3x-4+16\\f(x)&=&x^{2}-3x+12\end{array}

ตอนนี้เรารู้ค่าของ \(f(x)\) แล้ว ดังนั้น อินทิเกรตหาคำตอบได้แล้วครับ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\int_{1}^{4}f(x)dx&=&\int_{1}^{4}(x^{2}-3x+12)dx\\&=&\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+12x|_{1}^{4}\\&=&\left(\frac{4^{3}}{3}-\frac{3(4^{2})}{2}+12(4)\right)-\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{3(1^{2})}{2}+12(1)\right)\\&=&\frac{64}{3}-24+48-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-12\\&=&\frac{63}{3}+12+\frac{3}{2}\\&=&34.5\end{array}