การคูณ การหาร จำนวนติดรูท

\begin{array}{lcl}\sqrt[4]{9}\times\sqrt{5}&=&9^{\frac{1}{4}}\times 5^{\frac{1}{2}}\\&=&9^{\frac{1}{4}}\times 5^{\frac{1}{2}\times\frac{2}{2}}\\&=&9^{\frac{1}{4}}\times 5^{\frac{2}{4}}\\&=&\sqrt[4]{9\times 25}\\&=&\sqrt[4]{225}\\&=&\sqrt[4]{15^{2}}\\&=&15^{\frac{2}{4}}\\&=&15^{\frac{1}{2}}\\&=&\sqrt{15}\end{array}

7)\(\sqrt[5]{3}\times \sqrt{2}\)

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมทำให้เป็นรากเดียวกันก่อนครับ

\begin{array}{lcl}\sqrt[5]{3}\times\sqrt{2}&=&3^{\frac{1}{5}}\times 2^{\frac{1}{2}}\\&=&3^{\frac{1}{5}\times\frac{2}{2}}\times 2^{\frac{1}{2}\times\frac{5}{5}}\\&=&3^{\frac{2}{10}}\times 2^{\frac{5}{10}}\\&=&\sqrt[10]{3^{2}}\times \sqrt[10]{2^{5}}\\&=&\sqrt[10]{9}\times\sqrt[10]{32}\\&=&\sqrt[10]{9\times 32}\\&=&\sqrt[10]{288}\end{array}

8)\((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+\sqrt{3})\)

วิธีทำ เป็นการคูณกันครับ ก็เหมือนคูณพหุนามธรรมดาเนียะแหละครับ หน้าคูณหน้า  หลังคูณหลัง ใกล้คูณใกล์  ไกลคูณไกล เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+\sqrt{3})&=&(\sqrt{2}\sqrt{2})+(-1)\sqrt{3}+(-1)\sqrt{2}+(\sqrt{2})\sqrt{3}\\&=&2-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}\end{array}

9)\((3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2}\)

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมคือคูณกันนั่นเอง

\begin{array}{lcl}(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2}&=&(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})\\&=&(3\sqrt{2})3\sqrt{2}+(2\sqrt{3})2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})2\sqrt{3}\\&=&(9\times 2)+(4\times 3)+6\sqrt{6}+6\sqrt{6}\\&=&18+12+12\sqrt{6}\\&=&30+12\sqrt{6}\end{array}

2. ถ้า \(a=-5\) และ \(b=8\) แล้ว \(\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}\) มีค่าเท่าใด [o-net59/4]

วิธีทำ ข้อนี้เวลาทำต้องระวังนะครับ โดยเฉพาะอันนี้ \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\) เมื่อ\(n\) เป็นจำนวนคู่

เริ่มทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}&=&\sqrt[6]{a^{2}ba^{4}b}\\&=&\sqrt[6]{a^{6}b^{2}}\\&=&\sqrt[6]{(-5)^{6}(8)^{2}}\\&=&\sqrt[6]{(-5)^{6}}\sqrt[6]{8^{2}}\\&=&|-5|8^{\frac{2}{6}}\\&=&(5)8^{\frac{1}{3}}\\&=&(5)\sqrt[3]{8}\\&=&(5)(2)\\&=&10\end{array}

3. \((\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}})^{2}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด[o-net51/1]

วิธีทำ กระจายกำลังสองโดยใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ก็ได้หรือคูณเหมือนข้อข้างบนก็ได้ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}})^{2}&=&\frac{5}{6}-2\sqrt{\frac{5}{6}}\sqrt{\frac{2}{15}}+\frac{2}{15}\\&=&\frac{5}{6}+\frac{2}{15}-2\sqrt{\frac{5}{6}\times\frac{2}{15}}\\&=&\frac{75+12}{90}-2\sqrt{\frac{1}{9}}\\&=&\frac{87}{90}-\frac{2}{3}\\&=&\frac{87-60}{90}\\&=&\frac{27}{90}\\&=&\frac{3}{10}\end{array}

4.\(|\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}|-|2-\sqrt{2}|\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [o-net50/1]

วิธีทำ ข้อนี้ต้องมีความรู้เรื่องค่าสัมบูรณ์(Absolute) ด้วยนะครับถึงจะทำได้ใครที่ลืมแล้วก็ไปอ่านทบทวนตามลิงค์คร้บ ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกถึงจะทำต่อได้วิธีการถอดก็อ่านตามลิงค์ครับ เริ่มทำกันเลยครับ

พิจารณา \(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\begin{array}{lcl}\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}&=&\frac{1}{2}-\frac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\&=&\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}

จะเห็นว่า \(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}<0\) ดังนั้น ถอดค่าสัมบูรณ์ออกมาจะได้ดังนี้

\[|\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}|=|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}|=-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})\]

พิจารณา \(2-\sqrt{2}\)

เนื่องจาก \(2-\sqrt{2}>0\) ดังนั้น \(|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}\)

พอถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้แล้วเริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}|\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}|-|2-\sqrt{2}|&=&|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-|2-\sqrt{2}|\\&=&-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-(2-\sqrt{2})\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}-2+\sqrt{2}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{4}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}\\&=&\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{5}{2}\end{array}

15. \((1-\sqrt{2})^{2}(2+\sqrt{8})^{2}(1+\sqrt{2})^{3}(2-\sqrt{8})^{3}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด [o-net50/3]

วิธีทำ ข้อนี้ดูเผินๆถ้ามองไม่ออกนี้ยากครับ แต่ถ้ามองออกข้อนี้ง่ายมากครับ เดี๋ยวผมจะแนะวิธีในการทำครับ ดูตรงนี้นะลองเอาอันนี้คูณกันดูครับ

\((1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1\) แต่มันมี 2 คู่นะและจะเหลือ \((1+\sqrt{2})\) หนึ่งตัวที่ไม่มีคู่ครับอีกอันก็คือเอาคู่นี้คูณกันดู

\((2+\sqrt{8})(2-\sqrt{8})=(-4)\) แต่มันมี 2 คู่นะและจะเหลือ \((2-\sqrt{8})\) หนึ่งตัวที่ไม่มีคู่

เพราะฉะนั้นเรามาดูวิธีการทำแบบเต็มๆเลย  ค่อยๆคิดตามนะครับ

\begin{array}{lcl}(1-\sqrt{2})^{2}(2+\sqrt{8})^{2}(1+\sqrt{2})^{3}(2-\sqrt{8})^{3}&=&(-1)(-1)(-4)(-4)(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{8})\\&=&(16)(2-\sqrt{16}+2\sqrt{2}-\sqrt{8})\\&=&(16)(-2)\\&=&-32\end{array}

รากที่ n

นิยาม

กำหนดให้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงใดๆ จะกล่าวว่า \(y\) เป็น รากที่ n ของ \(x\) ก็ต่อเมื่อ \(y^{n}=x\)

ยกตัวอย่างจากบทนิยาม เช่น

\(2\)  เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะว่า \(2^{4}=16\)

\(-2\) เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะว่า \(-2^{4}=16\)

\(3\) เป็นรากที่ 6 ของ  729 เพราะว่า \(3^{6}=729\)

\(-3\) เป็นรากที่ 6 ของ 729 เพราะว่า \((-3)^{6}=729\)

\(-2\) เป็นรากที่ 3 ของ -8 เพราะว่า \((-2)^{3}=-8\)

จากตัวอย่างจะเห็นว่า รากที่ 4 ของ 16  และรากที่ 6 ของ 729  หรือว่ารากที่ คู่ ของจำนวนจริงบวกใดๆมีสองค่า คือค่าที่เป็น บวก กับค่าที่เป็น ลบ    แต่รากที่ คู่ ของค่าที่เป็น บวก เขียนแทนด้วย

\(\sqrt[4]{16}=2\) อ่านว่า กรณฑ์ที่ 4 ของ 16 เท่ากับ 2  หรือจะอ่านว่า ค่าหลักของรากที่  4 ของ 16 เท่ากับ 2  

\(\sqrt[6]{729}=3\) อ่านว่า  กรณฑ์ที่ 6 ของ 729 เท่ากับ 3  หรือจะอ่านว่า ค่าหลักของรากที่ 6 ของ 729 เท่ากับ 3

\(\sqrt[3]{-8}=-2\) อ่านว่า กรณฑ์ที่ 3 ของ -8  เท่ากับ -2  หรือจะอ่านว่า ค่าหลักของรากที่ 3 ของ -8 เท่ากับ -2

ที่นี้ เรามาดู อันนี้นิดหนึ่ง

มันจะมีคำแปลกๆที่ชวนให้เรา ปวดหัวคือ รากที่ n  กับ ค่าหลักของรากที่ n   ยกตัวอย่างเช่น

รากที่ 4 ของ 16 จะมีสองค่า คือ  2  กับ -2

2  จะเป็นค่าหลักของรากที่ 4 ของ 16 นะคับ แต่ -2 ไม่ใช่ค่าหลักของรากที่ 4 ของ 16   วิธีการดูว่าค่าไหนจะเป็นค่าหลักของรากที่นั้นๆ ก็คือ ถ้าเป็นรากที่ คู่ อย่างเช่น รากที่ 4  รากที่ 8  รากที่ 2  ค่าหลักของรากที่ คู่  จะเป็น ตัวเลขที่เป็น บวก อย่างเช่นตัวอย่างนี้ 2 เป็นค่าหลักของรากที่ 4 ของ 16   

รากที่ 3 ของ -8 มีค่าเดียวคือ -2

ดังนั้น -2 จะเป็นค่าหลักของรากที่ 3 ของ -8 เลย เพราะมีค่าเดียว  

ต่อไปเรามาดูสมบัติและทฤษฎีที่เกี่ยวกับ รากที่ n ครับ

สมบัติของรากที่ n

ทฤษฎีบท 1  ถ้า \(x\) และ \(y\) มีรากที่ n แล้ว \(\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy}\)

ตัวอย่างเช่น

\(\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2\times 3}=\sqrt[3]{6}\)

\(\sqrt[7]{5}\cdot\sqrt[7]{2}=\sqrt[7]{7\times 2}=\sqrt[7]{14}\)

ต้องรากเดียวกันนะครับถึงคูณกันได้ คนละรากห้ามนำมาจับคูณกันเด็ดขาด

ทฤษฏีบท 2 ถ้า \(x\) และ \(y\) มีรากที่ n และ \(y\neq 0\) แล้ว \(\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}\)

ตัวอย่างเช่น

\(\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{8}{4}}=\sqrt[3]{2}\)

หมายเหตุ  

1.  ทฤษฎีบท 1 และ ทฤษฎีบท 2  ถ้า \(x\) กับ \(y\)  เป็นจำนวนจริงลบจะใช้ได้เมื่อเป็นรากที่ คี่ เท่านั้น

เช่น รากที่ คู่ ใช้ไม่ได้นะจ๊ะ

\(\sqrt[3]{-2}\cdot \sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{15}\)  

รากที่ คู่ ใช้ไม่ได้นะจ๊ะ

\(\sqrt[4]{-2}\cdot \sqrt[4]{-5}=\sqrt[4]{10}\) อันนี้ทำการคูณไม่ได้นะคับอย่าหาทำเด็ดขาดอายเขา ครับเพราะว่า รากที่ 4 ของ -2 คือ อะไรเอ๋ยยกกำลัง 4 แล้วได้ -2  มันหาไม่ได้ ยกกำลังคู่แล้วได้ค่าติดลบมันไม่มีครับ สรุปก็คือถ้าตัวเลขใต้เครื่องหมายรากติดลบต้องเป็นรากที่ คึ่ เท่านั้นถึงจะนำไปคูณหรือไปหารต่อได้

2.

\(\sqrt[n]{x^{n}}=|x|\) เมื่อ  n เป็นจำนวนคู่  เช่น

\(\sqrt[4]{x^{4}}=|x|\)

\(\sqrt[4]{16x^{4}}=2|x|\) 

\(\sqrt[4]{16x^{5}}=\sqrt[4]{16x^{4}x}=2|x|\sqrt[4]{x}\)

 \(\sqrt[n]{x^{x}}=x\) เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เช่น

\(\sqrt[5]{x^{5}}=x\)

\(\sqrt[3]{-8x^{3}}=-2x\)

เอาละต่อไปเราก็มาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับรากที่ n กันต่อเลยคับไปดูกันเลย ใครจะดูคลิปก็ได้นะคับผม

แบบฝึกหัด

1. จงทำจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

1) \(\sqrt{8x^{2}}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lc}\sqrt{8x^{2}}&=&\sqrt{8}\sqrt{x^{2}}\\&=&2\sqrt{2}|x|\end{array}

2) \(\frac{3}{\sqrt[3]{-27}}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\frac{3}{\sqrt[3]{-27}}&=&\frac{3}{-3}=-1\end{array}

3)\(\sqrt[6]{\frac{1}{64}}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\sqrt[6]{\frac{1}{64}}&=&\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{64}}\\&=&\frac{1}{\sqrt[6]{2^{6}}}\\&=&\frac{1}{|2|}\\&=&\frac{1}{2}\end{array}

2. จงทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์

1) \(\sqrt{\frac{5}{2}}\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\sqrt{\frac{5}{2}}&=&\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\&=&\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\&=&\frac{\sqrt{10}}{2}\end{array}

2)  \(\frac{\sqrt{96}}{2\sqrt{12}}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{96}}{2\sqrt{12}}&=&\frac{1}{2}\sqrt{\frac{96}{12}}\\&=&\frac{1}{2}\sqrt{8}\\&=&\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\\&=&\sqrt{2}\end{array}

สามารถอ่านต่อเรื่องการทำตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ตามลิงค์นี้ครับผม  ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์

3. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย 

1) \(\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{18}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราก็แยกตัวประกอบแล้วค่อยถอดรากที่สองออกมาเช่น \(50=25\times 2,\quad 32=16\times 2\) เป็นต้น เอาละมาเริ่มทำกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{18}&=&\sqrt{25\times 2}+\sqrt{16\times 2}-\sqrt{9\times 2}\\&=&5\sqrt{2}+4\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\&=&(5+4-3)\sqrt{2}\\&=&6\sqrt{2}\end{array}

2) \(5\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{32}-\sqrt[3]{108}\)

วิธีทำ ข้อนี้ทำการแยกตัวประกอบเหมือนเดิม ซึ่งต้องสังเกตนิดหนึ่งเป็นต้นว่า \(32=8\times 4,\quad 108=27\times 4\) เริ่มทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}5\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{32}-\sqrt[3]{108}&=&5\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{8\times 4}-\sqrt[3]{27\times 4}\\&=&5\sqrt[3]{4}+2\cdot2\sqrt[3]{4}-3\sqrt[3]{4}\\&=&5\sqrt[3]{4}+4\sqrt[3]{4}-3\sqrt[3]{4}\\&=&(5+4-3)\sqrt[3]{4}\\&=&6\sqrt[3]{4}\end{array}

3) \(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{375}-\sqrt[3]{192}\)

วิธีทำ ข้อนี้ผมจะแยกตัวประกอบให้เห็นชัดเจนเลยนะครับแล้วค่อยถอดรากที่ 3  เริ่มเลยครับ

\(81=3\times 3\times 3\times 3\)

\(375=5\times 5\times 5\times 3\)

\(192=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\)

เริ่มถอดรากที่ 3 เลยครับ

\begin{array}{lcl}\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{375}-\sqrt[3]{192}&=&\sqrt[3]{3\times 3\times 3\times 3}+\sqrt[3]{5\times 5\times 5\times 3}+\sqrt[3]{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3}\\&=&3\sqrt[3]{3}+5\sqrt[3]{3}-2\sqrt[3]{3}\\&=&(3+5-4)\sqrt[3]{3}\\&=&4\sqrt[3]{3}\end{array}

4) \(3\sqrt{2}+\sqrt{32}-\sqrt[4]{64}\)

วิธีทำ ข้อนี้ มีทั้งรากที่สองและรากที่สี่ เราจะแปลงรากที่สี่ให้กลายเป็นรากที่สอง เพื่อที่จะบวกลบกันได้ครับ เริ่มแปลงกันเลยครับก็คือผมจะแปลง รากที่ 4 ของ 64 ให้เป็นรากที่ 2 ให้ได้ครับเริ่มทำกันเลย

\(\sqrt[4]{64}=64^{\frac{1}{4}}=8^{2\times \frac{1}{4}}=8^{\frac{1}{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

ซึ่งเราจะเห็นว่ารากที่ 4 ของ 64 คือ \(2\sqrt{2}\) นั่นเองครับผม ที่นี้ก็บวก ลบ กันได้แล้วครับผม เริ่มกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}3\sqrt{2}+\sqrt{32}-\sqrt[4]{64}&=&3\sqrt{2}+\sqrt{16\times 2}-2\sqrt{2}\\&=&3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\&=&(3+4-2)\sqrt{2}\\&=&5\sqrt{2}\end{array}

สามารถตูการทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมได้ที่คลิปต่อเลยครับผม