แฟกทอเรียล วันนี้เราจะมาดูความหมายของเจ้าแฟกทอเรียลว่ามันมีความหมายว่าอย่างไรกันครับเรื่องแฟกทอเรียลนี้เราจะได้เรียนในชั้น ม.5 ในเรื่องของความน่าจะเป็นเพราะแฟกทอเรียลสามารถใช้ในการคำนวณหาความน่าจะเป็นได้
นิยาม
ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก
\(n!\) อ่านว่า เอ็นแฟกทอเรียล หรืออ่านว่า เอ็นแฟกก็ได้ โดยที่
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)...(3)(2)(1)\)
อ่านนิยามของแฟกทอเรียลบางคนอาจจะงงๆอยู่ไปดูตัวอย่างกันครับ
\(6!=(6)(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)\) หรือก็คือ
\(6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\)
\(3!=3\times 2 \times 1=6\)
\(2!=2\times 1=2\)
\(4!=4\times 3 \times 2 \times 1=24\)
\(5!=5\times 4 \times 3 \times 2\times 1=120\)
\(1!=1\)
อีกอันหนึ่งที่สำคัญคือ
\(0!=1\) หาอ่านพิสูจน์เองนะครับว่าทำไมศูนย์แฟกทอเรียลเท่ากับ 1 หรือถ้าพิสูจน์เองได้จะดีมากครับ
ก่อนที่จะทำแบบฝึกหัดต้องหัดกระจายพวกนี้ให้คล่องในครับและพยายามจินตนาการมมองภาพให้ออกว่ามันค่อยๆลดลงทีละ 1 ไปเรื่อยๆจนเหลือ 1 ครับ
\((n+1)!=(n+1)(n)(n-1)(n-2)(n-3)...(3)(2)(1)\)
\((n+2)!=(n+2)(n+1)(n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)\)
\((n-1)!=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)...(3)(2)(1)\)
\((n+k)!=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(n+k-k)(n-1)(n-2)...(2)(1)\)
ต่อไปเราทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ
1. จงหาคำตอบของแต่ละข้อต่อไปนี้
1) \(4!\)
วิธีทำ
\(4!=4\times 3\times 2\times 1=24\)
2) \(\frac{4!}{3!}\)
วิธีทำ
\(\frac{4!}{3!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1}=4\)
หรือมองแบบนี้ก็ได้ง่ายกว่า
\(\frac{4!}{3!}=\frac{4\times 3!}{3!}=4\) สามแฟกตัดสามแฟกก็เหลือแค่ 4 มองเห็นไหมครับถ้าเข้าใจตรงนี้จะง่ายไม่ต้องทำเยอะ
3) \(\frac{5!}{4!}\)
วิธีทำ
\(\frac{5!}{4!}=\frac{5\times 4!}{4!}=5\)
4) \(\frac{12!}{10!}\)
วิธีทำ
\(\frac{12!}{10!}=\frac{12\times 11\times 10!}{10!}\)
\(\frac{12!}{10!}=12\times 11\)
\(\frac{12!}{10!}=121\)
5) \(\frac{8!}{9!}\)
วิธีทำ
\(\frac{8!}{9!}=\frac{8!}{9\times 8!}\)
\(\frac{8!}{9!}=\frac{1}{9}\)
6) \(\frac{5!}{7!}\)
วิธีทำ
\(\frac{5!}{7!}=\frac{5!}{7\times 6\times 5!}\)
\(\frac{5!}{7!}=\frac{1}{7\times 6}\)
\(\frac{5!}{7!}=\frac{1}{42}\)
7) \(\frac{n!}{(n-1)!}\)
วิธีทำ
\(\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(2)(1)}{(n-1)(n-2)...(2)(1)}\) มีตัวตัดทอนกันได้ครับ
\(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)
8) \(\frac{n!}{(n-2)!}\)
วิธีทำ
\(\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(2)(1)}{(n-2)(n-3)...(2)(1)}\) มีตัวทอนกันได้
\(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)
\(\frac{n!}{(n-2)!}=n^{2}-n\)
หรือถ้าใครมองภาพออกแล้วไม่อยากเขียนเยอะก็ทำอย่างนี้ก็ได้
\(\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}\) ตัดทอนกันได้
\(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^{2}-n\)
9) \(\frac{(n!)^{2}}{(n+1)!(n-1)!}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมพยายามกระจายออกมาแล้วจะเห็นตัวที่ตัดทอนกันได้ครับ
\(\frac{(n!)^{2}}{(n+1)!(n-1)!}=\frac{n!\times n!}{(n+1)!(n-1)!}\) พยายามกระจ่ายออก
\(\frac{(n!)^{2}}{(n+1)!(n-1)!}=\frac{n(n-1)!\times n!}{(n+1)n!(n-1)!}\) เห็นตัวตัดทอนกันไหม
\(\frac{(n!)^{2}}{(n+1)!(n-1)!}=\frac{n}{(n+1)}\) ตอบแค่นี้ครับเข้าใจไหมไม่ยากนะ
2. จงแก้สมการเพื่อหาค่าของ n เมื่อ n เป็นจำนวนนับ
1) \(\frac{n!}{(n-1)!}=10\)
วิธีทำ การแก้สมการที่ติดแฟกทอเรียลทำได้โดยกระจ่ายแฟกทอเรียลออกแล้วหาตัวที่ตัดกันได้ ก็ตัดทิ้งให้หมดครับ
\(\frac{n!}{(n-1)!}=10\)
\(\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=10\) จะเห็นว่ามีตัวตัดทอนกันได้
\(n=10\)
2) \(\frac{n!}{(n-2)!}=72\)
วิธีทำ
\(\frac{n!}{(n-2)!}=72\)
\(\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=72\)
\(n(n-1)=72\) บรรทัดนี้ถ้าทำอะไรไม่ถูกก็ลองกระจ่าย 72 ออกมาดูในรูปการคูณครับ
\(n(n-1)=(9)(8)\)
\(n(n-1)=9(9-1)\) ลองเทียบกันดูจะเห็นว่า n=9 นั่นเอง
3) \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=420\)
วิธีทำ
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=420\)
\(\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=420\)
\(n(n+1)=420\) ข้อนี้ผมจะไม่ทำเหมือนข้อข้างบนนะครับเป็นวิธีอีกวิธีหนึ่งครับใครสะดวกวิธีไหนก็เลือกทำตามวิธีที่ตนเองถนัดแล้วกันครับ
\(n^{2}+n=420\)
\(n^{2}+n-420=0\)
\((n+21)(n-20)=0\)
\(n=-21,n=20\)
แต่ n ต้องเป็นจำนวนนับ ดังนั้น n=20 ครับ
4) \(\frac{n!}{(n-6)!6!}=\frac{n!}{(n-8)!8!}\)
วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปสมการเพื่อหาตัวที่ตัดทอนกันได้ครับ
\(\frac{n!}{(n-6)!6!}=\frac{n!}{(n-8)!8!}\)
\(\frac{n!\times 8!}{n!\times 6!}=\frac{(n-6)!}{(n-8)!}\)
\(8\times 7=(n-6)(n-7)\)
ผมจะไม่ทำเหมือนข้อข้างบนนะ เราสามารถเทียบกันได้เลยว่า
\(n-6=8\)
\(n=14\)
และ
\(n-7=7\)
\(n=14\)
ได้ n=14
5) \(\frac{n!}{10!}=\frac{(n-6)!}{720}\)
วิธีทำ ข้อนี้จัดสมการให้ตัวแปรอยู่ฝั่งซ้ายและตัวเลขอยู่ฝั่งขวาจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{n!}{10!}&=&\frac{(n-6)!}{720}\\\frac{n!}{(n-6)!}&=&\frac{10!}{720}\\\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)!}{(n-6)!}&=&5040\\n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)&=&7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\end{array}
ลองเทียบสมการกันดูนะครับ จะได้ว่า \(n=7\) ดูดีๆนะค่อยๆอ่าน
6) \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=\frac{63n!}{(n-1)!}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับย้ายมาเพื่อหาตัวตัดทอนกันครับจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=\frac{63n!}{(n-1)!}\\\frac{(n+1)!(n-1)!}{(n-2)!n!}&=&63\\\frac{(n+1)n!(n-1)(n-2)!}{(n-2)!n!}&=&63\\(n+1)(n-1)&=&63\end{array}
ต่อไปในการหาค่า \(n\) ถ้าใครมองไม่ออกเทียบไม่เป็นเหมือนข้อห้าข้างบนก็ทำแก้สมการธรรมดา เพราะแก้ไม่ยากสามารถทำได้โดยง่ายเพราะเป็นแค่สมการกำลังสองเท่าจะได้
\begin{array}{lcl}(n+1)(n-1)&=&63\\n^{2}-1&=&63\\n^{2}&=&64\\n&=&\pm 8\end{array}
แต่เนื่องจาก \(n\) ต้องเป็นจำนวนนับดังนั้นข้อนี้ \(n=8\)
3. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปแฟกทอเรียล
1) \(6\times 5\times 4\)
วิธีทำ ทำยังไงก็ได้ให้มีเครื่องหมายแฟกและค่ายังเท่าเดิม
จะเห็นว่าถ้าผมเติม \(3 \times 2 \times 1 \) เข้าไปต่อท้ายในโจทย์ จะได้ดังนี้
\(6\times 5 \times 4\times 3\times 2 \times 1=6!\) แต่ค่าคงไม่เท่าเดิมเพราะเราเอาตัวเลขข้างนอกมาคูณเข้าดังนั้นเพื่อให้ได้ค่าเท่าเดิมคูณเข้าเท่าไร ต้องหารออกเท่านั้นครับ จะได้
\(\frac{6\times 5 \times 4\times 3\times 2 \times 1}{3\times 2 \times 1}=\frac{6!}{3!}\)
ดังนั้น \(6\times 5\times 4\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแฟกทอเรียลคือ \(\frac{6!}{3!}\) นั่นเองครับเข้าใจไหม เหมือนจะยากแต่ไม่ยากนะต้องอาศัยจินตนาการนิดหนึ่ง
2) \(17\times 16 \times 15 \times 14\)
วิธีทำ ทำเหมือนข้อข้างบนครับ
\(17\times 16 \times 15 \times 14=\frac{17\times 16 \times 15 \times 14\times 13!}{13!}=\frac{17!}{13!}\)
3) \(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับ แค่มีตัวแปร n เข้ามาเพิ่มแต่มองออกก็ไม่ยากครับ
\(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)!}{(n-6)!}=\frac{n!}{(n-6)!}\)
4) \(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)...(n+k)\)
วิธีทำ ข้อนี้ผมอยากให้มองอย่างนี้ครับ มองสลับกันคือเอามาเรียงใหม่เรียงจากมากไปหาน้อยครับเพราะในโจทย์เรียงน้อยไปมาก เราควรเรียงจากมากไปหาน้อยนะจะมองง่าย
\((n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n\) เรียงใหม่นะ พยายามมองภาพให้ออกมันจะลดลงทีละหนึ่งครับ
\((n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n=\frac{(n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+k)!}{(n-1)!}\) ตอบแล้วนะ
***ปล. ถ้าสมการมันยาวเกินมองเห็นไม่หมด ให้กลับโทรศัพท์ให้อยู่ในแนวนอนครับจะมองเห็นทั้งหมดเอง
มีทุกเรื่องให้อ่านครับ ลองค้นหาดู ฝากแชร์ ให้เพื่อนๆดูด้วยคับ
สนับสนุนเว็บไซต์