เฉลย o-net ม.6 เรื่องสถิติ

ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 4 คน บุตร 2 คนมีน้ำหนักเท่ากันและมีน้ำหนักน้อยกว่าบุตรอีก 2 คน ถ้าน้ำหนักของบุตรทั่ง 4 คน

มีค่าฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัยเท่ากับ 45 , 47.5 และ 7 กิโลกรัมตามลำดับ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักตัวบุตรทั้ง 4 คน มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 46 กิโลกรัม
2. 47 กิโลกรัม
3. 48 กิโลกรัม
4. 49 กิโลกรัม

วิธีทำ ข้อนี้ให้น้ำหนักของบุตรทั้ง 4 คนเรียงจากน้อย ไปหามากเป็นดังนี้ \(x,x,y,z\)

จากโจทย์เราได้ว่า

\(z-x=7\quad\cdots (1)\)

\(\frac{x+y}{2}=47.5\quad \cdots (2)\)

โจทย์บอกอีกว่า น้ำหนักของบุตร 2 คนที่หนักเท่ากัน หนักน้อยกว่าน้ำหนักของบุตรสองคนที่เหลือ และฐานนิยมเท่ากับ 45 นั่นหมายความว่าน้ำหนักของบุตร 2 คนที่เหลือก็คือ y,z ย่อมหนักไม่เท่ากัน เพราะถ้าหนักเท่ากันจะทำให้ฐานนิยมไม่เท่ากับ 45 นั่นเอง จึงทำให้เราได้ว่า \(x=45\) นั่นเอง งงไหม คิดตามดีๆนะ  เมื่อเรารู้ค่าของ \(x\) แล้ว สบายละงานนี้  แทนค่าของ \(x\) ด้วย 45 ในสมการที่ (1) และ (2) เลยจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}z-x&=&7\\z-45&=&7\\z&=&52\end{array}

---

\begin{array}{lcl}\frac{x+y}{2}&=&47.5\\\frac{45+y}{2}&=&47.5\\45+y&=&95\\y&=&50\end{array}

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักตัวของทั้ง 4 คนเท่ากับ

\begin{array}{lcl}\overline{x}&=&\frac{45+45+50+52}{4}\\&=&48\quad kg\end{array}

ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 ค่า เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนี้

74 ,78 , 80 ,80, a,90 ,90 ,b

ถ้าข้อมูลชุดนี้มีพิสัยเท่ากับ 18 และมัธยมฐานเท่ากับ 85 แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับเท่าใด (o-net 59)

วิธีทำ  จากโจทย์บอกว่าพิสัยเท่ากับ 18 เราได้ว่า

\begin{array}{lcl}b-74&=&18\\so\\b&=&18+74\\b&=&92\end{array}

มัธยฐานเท่ากับ 85 เราได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{80+a}{2}&=&85\\so\\80+a&=&170\\a&=&170-80\\a&=&90\end{array}

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้คือ

\begin{array}{lcl}\overline{x}&=&\frac{74+78+80+80+90+90+90+92}{8}\\&=&84.25\end{array}

ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน ถ้าควอร์ไทล์ที่หนึ่ง  ควอร์ไทล์ที่สอง และควอร์ไทล์ที่สาม เท่ากับ 18 ,25 และ 28 ตามลำดับ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 50)

1. 23.4
2. 23.7
3. 24
4. 24.3

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับแต่ต้องเข้าใจ concept ของคำว่า ควอร์ไทล์  

ควอร์ไทล์ก็คือ การเอาข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปมาก และแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วน เมื่อแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนก็จะมีจุดแบ่งทั้งหมด 3 จุด  ข้อมูลที่อยู่จุดแบ่งแต่ละจุด ก็จะถูกเรียกว่า ควอร์ไทล์ที่ 1 \((Q_{1})\)  ควอร์ไทล์ที่ 2 \((Q_{2})\) และ ควอร์ไทล์ที่ 3\((Q_{3})\) อ่านข้อมูลเพิ่มเติมตามลิงก์นี้ครับผม ควอร์ไทล์  ควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

เอาละเริ่มทำกันเลยครับผม ข้อมูลมี 5 จำนวนใช่ไหม ผมข้อมูล 5 จำนวนนั้นเรียงจากน้อยไปหามากเป็น \(a,b,c,d,e\) ตามลำดับ  ควอร์ไทล์ที่ 2 คือข้อมูลที่อยู่ตรงกลางดังนั้น \(c=25\)

หาตำแหน่งของ \(Q_{1}\) 

ตำแหนงของ \(Q_{1}=\frac{1(N+1)}{4}=\frac{1(5+1)}{4}=1.5\)

เราจะเห็นว่า \(Q_{1}\) คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 1.5 คืออยู่ระหว่างค่า \(a\) และ \(b)\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}Q_{1}&=&\frac{a+b}{2}\\18&=&\frac{a+b}{2}\\a+b&=&36\end{array}

หาตำแหน่งของ \(Q_{3}\) 

ตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3(N+1)}{2}=\frac{3(5+1)}{4}=4.5\)

เราจะเห็นว่า \(Q_{3}\) คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 4.5 คืออยู่ระหว่าง \(d\) และ \(e\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}Q_{3}&=&\frac{d+e}{2}=\\28&=&\frac{d+e}{2}\\d+e&=&56\end{array}

นั่นก็คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 5 จำนวนนี้เท่ากับ

\begin{array}{lcl}\overline{x}&=&\frac{a+b+c+d+e}{5}\\&=&\frac{36+25+56}{5}\\&=&23.4\end{array}

ข้อมูลชุดหนึ่ง ถ้าเรียงจากน้อยไปหามากแล้ว ได้เป็นลำดับเลขคณิตต่อไปนี้ \(2, 5, 8, \cdots ,92 \)  ควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 51)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้ ลำดับเลขคณิต นะคับใช้ไม่เยอะหรอกครับ ก็คือใช้พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) อันนี้ครับเอาไว้ใช้หาจำนวนพจน์ทั้งหมดของลำดับนี้ และเอาไว้หาพจน์ใดของลำดับเลขคณิต เริ่มทำกันเลยครับ

เราจะหาก่อนว่า ลำดับ \(2, 5, 8, \cdots ,92 \) นี้มีกี่พจน์ เพื่อจะนำไปหาควอร์ไทล์ที่ 3  จากลำดับที่เขากำหนดให้จะได้ \(a_{1}=2\) และ \(d=5-2=3\)

เริ่ม

\begin{array}{lcl}a_{n}&=&a_{1}+(n-1)d\\92&=&2+(n-1)(3)\\92&=&2+3n-3\\3n&=&93\\n&=&\frac{93}{3}\\n&=&31\end{array}

ดังนั้นลำดับเลขคณิตนี้มีทั้งหมด 31 พจน์หรือว่า 31 ตัวนั่นเองครับ

ต่อไปหาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ 3 \((Q_{3})\)

ตำแหน่งของ \((Q_{3}=\frac{3(31+1)}{4}=\frac{3\times 32}{4}=24\)

ดังนั้น ควอร์ไทล์ที่ 3 \((Q_{3})\) คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 24 หรือเป็นพจน์ที่ 24 \(a_{24})\) ของลำดับนี้นั่นเองครับ ดังนั้นเราไปหา \(a_{24}\) กันเลย

\begin{array}{lcl}a_{n}&=&a_{1}+(n-1)d\\a_{24}&=&2+(24-1)3\\a_{24}&=&71\end{array}

นั่นคือเราจะได้ว่า ควอร์ไทล์ที่ 3 เท่ากับ 71 นั่นเองครับ

คะแนนของผู้เข้าสอบ 15 คน เป็นดังนี้ \(45,54,59,60,62,64,65,68,70,72,73,75,76,80\) และ \( 81\) ถ้าเกณฑ์ในการสอบผ่าน คือ ต้องได้คะแนนไม่ต่ำกว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นคะแนนต่ำสุดของผู้สอบผ่าน (o-net 51)

1. 68 คะแนน
2. 70 คะแนน
3. 72 คะแนน
4. 73 คะแนน

วิธีทำ ข้อนี้ ไม่มีอะไรมากก็คือต้องหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 ( \(P_{60}\))

ข้อตอนการทำคือ ตำหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 \(P_{60}\) ก่อนครับ

ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ \(r\) เท่ากับ \(\frac{r(N+1)}{100}\) ดังนั้น

ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 เท่ากับ \(\frac{60(15+1)}{100}=9.6\)

นั่นก็คือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 คือข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่ 9.6 ก็คืออยู่ระหว่าง 70 กับ  72 นั่นเองครับผม

ต่อไป เราจะเทียบเพื่อหาค่าว่าว่าข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่ 9.6 มีค่าเท่าไร

ตำแหน่งห่างกัน 1 ตำแหน่ง (คือตำแหน่งที่ 9 กับตำแหน่งที่ 10) ข้อมูลห่างกัน 2 (72-70=2)

ถ้าตำแหน่งห่างกัน 0.6  (คือตำแหน่งที่ 9.6 กับตำแหน่งที่ 9) ข้อมูลจะห่างกัน \(\frac{2}{1}\times 0.6=1.2\)

นั่นคือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 เท่ากับ  70+1.2=71.2

ดังนั้นนักเรียนต้องสอบได้คะแนนตั้งแต่ 71.2 คะแนนขึ้นไปถึงจะสอบผ่าน  นั้นคือคะแนนต่ำสุดของผู้สอบผ่านต้องเป็นตัวเลือกที่ 3 คือ 72 คะแนน