57. พื้นของห้องเก็บสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทแยงมุมยาวกว่าด้านยาว 2 เมตร และด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 14 เมตร ถ้าผู้จัดการโรงงานต้องการปรับปรุงพื้นของห้องนี้ โดยช่างคิดค่าแรงตารางเมตรละ 120 บาท ผู้จัดการโรงงานจะต้องจ่ายเงินค่าแรงในการปรับปรุงพื้นของห้องเก็บสินค้านี้เป็นเงินกี่บาท

1. 14,400
2. 17,280
3. 28,800
4. 31,200
5. 37,440

วิธีทำ เราต้องกำหนดตัวแปรก่อนในที่นี้เราจะกำหนดให้ด้านกว้างยาว \(x\)  เมตร

จะได้ด้านยาวยาว \(x+14\) เมตร

และจะได้เส้นทแยงมุมยาว \(x+14)+2=x+16 \) เมตร

จากรูปโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}+(x+14)^{2}&=&(x+16)^{2}\\x^{2}+x^{2}+28x+196&=&x^{2}+32x+256\\x^{2}-4x-60&=&0\\(x-10)(x+6)&=&0\\so\\x=10\quad ,-6\end{array}

แต่เนื่องจาก \(x\) ของเราคือความยาว ดังนั้นจึงเอาเฉพาะค่าบวกจึงได้ว่า \(x=10\)

จึงได้ว่าด้านกว้างของพื้นห้องเท่ากับ \(10\) เมตร

และด้านยาวของพื้นห้องเท่ากับ \(10+14=24\) เมตร

ทำให้พื้นห้องมีพื้นที่เท่ากับ \(10\times 24=240\) เมตร

ดังนั้นจะต้องจ่ายค่าแรงในาการปรับปรุงพื้นเป็นเงิน \(240\times 120=28,800\) บาท

58. กำหนดให้ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก

เซตของจำนวนจริง \(x\) ทั้งหมดที่ทำให้ \((x+3)^{2}+(x+3)^{4}+(x+3)^{6}+\cdots +(x+3)^{2n}+\cdots \) เป็นอนุกรมลู่เข้าคือข้อใด

1. \((-4,-2)\)
2. \([-2,1)\)
3. \((2,4)\)
4. \(-\infty ,-2)\)
5. \((-1,1)\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ตรวจสอบอนุกรมที่เขาให้มาจะเห็นว่ามันเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ และมีอัตราส่วนร่วม \(r=\frac{(x+3)^{4}}{(x+3)^{2}}=(x+3)^{2}\)

ซึ่งอนุกรมเรขาคณิตอนันต์จะลู่เข้าเมื่อ \(|r|<1\) ดังนั้นเราก็หาคำตอบได้จากตรงนี้เลยคับ

\begin{array}{lcl}|r|&<&1\\|(x+3)^{2}|&<&1\\(x+3)^{2}&<1&\\(x+3)^{2}-1&<&0\\(x+2)(x+4)&<&0\end{array}

แสดงว่า \(-4<x<-2\)

ดังนั้นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ \(x\in (-4,-2)\)

1. ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\) ค่าของ \(f\left(f'(f''(2553))\right)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้เจอ แล้วก็หาอนุพันธ์หรือว่าดิฟก็จะได้คำตอบคับ แต่ก็หา \(f(x)\) อาจจะต้องใช้แรงเยอะหน่อย

จาก \(f(2x+1)=4x^{2}+14x\quad\cdots (1)\) 

กำหนดให้ \(A=2x+1\)  จะได้ \(2x=A-1\) 

เราจะเห็นว่า \(4x^{2}=(2x)^{2}=(A-1)^{2}=A^{2}-2A+1\)

\(14x=7(2x)=7(A-1)=7A-7\)

เราเอาค่าที่เราได้ตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) เลย จะได้

\begin{array}{lcl}f(2x+1)&=&4x^{2}+14x\\f(2x+1)&=&(2x)^{2}+7(2x)\\f(A-1+1)&=&(A-1)^{2}+7(A-1)\\f(A)&=&A^{2}-2A+1+7A-7\\f(A)&=&A^{2}+5A-6\end{array}

ตอนนี้เราได้

\(f(A)=A^{2}+5A-6\)  ดังนั้น

\(f(x)=x^{2}+5x-6\)  ซึ่งจะได้ \(f(9)=9^{2}+5(9)-6=81+45=120\)

\(f'(x)=2x+5\)  ซึ่ง \(f'(2)=2(2)+5=9\)

\(f''(x)=2\)  ซึ่งจะเห็นได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองของ \(f\) มีค่าเท่ากับ 2  เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นอะไรก็ตาม ดังนั้น \(f''(2553)=2\) ซึ่งเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(f'(f''(2553)))&=&f(f'(2))\\&=&f(9)\\&=&120\end{array}

2.กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(g:R\to R\)  เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย \(g(x)=\frac{1}{2x+3}\) เมื่อ \(x\neq -\frac{3}{2}\)  ถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชันที่ \((f\circ g)(x)=x\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) แล้ว \(f''(\frac{1}{2})\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(-\frac{1}{2}\)
2. \(\frac{1}{2}\)
3. \(-8\)
4. \(8\)

วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจากโจทย์ให้หา \(f''(\frac{1}{2})\) ดังนั้นเราต้องหา \(f(x)\) ให้ได้ก่อน

เริ่มจาก

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x\\f(g(x))&=&x\\f(\frac{1}{2x+3})&=&x\quad \cdots (1)\end{array}

ทิ้งสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน มาดูตรงนี้ก่อน

ให้ \(A=\frac{1}{2x+3}\) จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&\frac{1}{2x+3}\\so\\2x+3&=&\frac{1}{A}\\and\\2x&=&\frac{1}{A}-3\\x&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า

\(A=\frac{1}{2x+3}\)

\(x=\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\)  เอาตรงนี้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(\frac{1}{2x+3})&=&x\\f(\frac{1}{\frac{1}{A}})&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\f(A)&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\so\\f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{3}{2}\\f(x)&=&\frac{x^{-1}}{2}-\frac{3}{2}\\so\\f'(x)&=&-\frac{1}{2}x^{-2}\\so\\f''(x)&=&x^{-3}\\f''(x)&=&\frac{1}{x^{3}}\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(f''(x)=\frac{1}{x^{3}}\) จึงได้คำตอบว่า

\(f''(\frac{1}{2})=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8\)

3. ถ้า \(f,g\) และ \(h\) สอดคล้องกับ \(f(1)=g(1)=h(1)=1\) และ \(f'(1)=g'(1)=h'(1)=2\) แล้วค่าของ \((fg+h)'(1)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 1
2. 2
3. 4
4. 6

วิธีทำ ข้อนี้ เข้าให้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \((fg+h)\) ที่ \(x=1\) ดังนั้นให้เราเริ่มต้นที่

\((fg+h)(x)\)  ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการดำเนินการของฟังก์ชันนิดหนึ่ง เช่น

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)

\(fg(x)=f(x)g(x)\) 

เริ่มทำกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}(fg+h)(x)&=&fg(x)+h(x)\\&=&f(x)g(x)+h(x)\\so\\(fg+h)'(x)&=&f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+h'(x)\\then\\(fg+h)'(1)&=&f(1)g'(1)+g(1)f'(1)+h'(1)\\&=&(1)(2)+(1)(2)+2\\&=&6\quad \underline{Ans}\end{array}

4. กำหนดให้ \(f(x)=1+\frac{a}{x}\) และ \(g(x)=x^{2}+b\) ถ้า \((f\circ g)(x)=\frac{1}{2}\) และ \(f''(-1)=2\) แล้ว \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(-\frac{1}{3}\)
2. \(-\frac{1}{4}\)
3. \(\frac{1}{4}\)
4. \(\frac{1}{3}\)

วิธีทำ ข้อนี้ยากพอสมควร วิธีการดูว่าข้อไหนยากให้ดูตรงที่โจทย์ให้มา จะเห็นว่าโจทย์ให้ \(f(x),g(x),(f\circ g),f''(-1)\) ให้มาเยอะมาก แสดงว่าเราต้องนำพวกนี้ไปใช้เพื่อหาคำตอบ ซึ่งมันต้องใช้ให้ครบถึงจะหาคำตอบได้ มันก็เลยยากและยุ่งด้วย  ค่อยๆอ่านดีแล้วกันคับ

เนื่องจากโจทย์ให้หา \(\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)\) ดังนั้นเราจะเริ่มต้นจากการหา \((\frac{f}{g})(x)\)ก่อนคับ

\begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})(x)&=&\frac{f(x)}{g(x)}\\so\\(\frac{f}{g})'(x)&=&\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[gx)]^{2}}\\then \\(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\end{array}

งานของเราต่อไปคือต้องหา \(a+b\) ให้ได้คับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(0)&=&\frac{1}{2}\\f(g(0))&=&\frac{1}{2}\quad\cdots (1)\\because\\ g(x)&=&x^{2}+b\\ so\\g(0)&=&0^{2}+b\\g(0)&=&b\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(g(0)=b\) เอาไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(g(0))&=&\frac{1}{2}\\f(b)&=&\frac{1}{2}\\because\\f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\so\\f(b)&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{1}{2}&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{a}{b}&=&-\frac{1}{2}\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะหาอีกสมการเพราะการหา \(a\) กับ \(b\) ต้องมีอย่างน้อย 2 สมการเพื่อแก้ระบบสมการหาค่าของ \(a\) กับ \(b\)

\begin{array}{lcl}f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\f'(x)&=&-ax^{-2}\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\because\\f''(-1)&=&2\\and\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\then\\f''(-1)&=&2a(-1)^{-3}\\2&=&-2a\\so\\a&=&-1\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(a=-1\) ลองเอาค่า \(a\) นี้ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้ \(b=2\) 

นั่นก็คือ \(a+b=-1+2=1\)

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(a\) กับ ค่าของ \(b\) แล้ว และได้ค่า \(a+b\) แล้ว ต่อไปหาค่าพวกนี้รอไว้ก่อนเพราะได้ใช้แน่นอนคือ

\(g(x)=x^{2}+b\to g(1)=1^{2}+2=3\)

\(g'(x)=2x\to g'(1)=2(1)=2\)

\(f(x)=1+\frac{a}{x}\to f(1)=1+ (-\frac{1}{1})=0\)

\(f'(x)=-ax^{-2}\to f'(1)=-(-1)(-1)^{-2}=1\)

ต่อไปนำค่าต่างๆที่เราได้ไปแทนใน

\begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\\(\frac{f}{g})'(1)&=&\frac{g(1)f'(1)-f(1)g'(1)}{[g(1)]^{2}}\\&=&\frac{(3)(1)-(0)(2)}{3^{2}}\\&=&\frac{3}{9}\\&=&\frac{1}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}

5. ฟังก์ชัน \(f,g,h\) มีสมบัติว่า \((f\circ g)(x)=3x-14\)  ,\(f(\frac{x+6}{3})=x-2\) , \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จงหาค่าของ \(h'(0)\)

วิธีทำ ข้อนี้ ไม่ยากครับ ถ้าหัดทำข้อสอบบ่อยๆ ข้อพวกนี้ถือว่าสบายมากเลย เริ่มทำกันเลย

จาก \(f(\frac{x+6}{3})=x-2\) 

กำหนดให้ \(A=\frac{x+6}{3}\) จะได้ \(x=3A-6\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(\frac{x+6}{3})&=&x-2\\f(A)&=&3A-6-2\\f(A)&=&3A-8\\so\\f(x)&=&3x-8\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า

\(f(x)=3x-8\) ดังนั้น

\(f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\) เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อน

ต่อไป จาก \((f\circ g)(x)=3x-14\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&3x-14\\f(g(x))&=&3x-14\quad\cdots (2)\end{array}

ให้เราสังเกตสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) คือ

\[f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\]

\[f(g(x))=3x-14\quad\cdots (2)\]

จะเห็นได้ว่าสมการที่ \(1)\) เท่ากับ \((2)\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}3g(x)-8&=&3x-14\\3g(x)&=&3x-14+8\\g(x)&=&\frac{3x-6}{3}\\g(x)&=&x-2\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(g(x)\) แล้วนะ ซึ่งจะนำไปหาคำตอบได้คือ

จาก \(h(2x-1)=6g(x)+12\) จะได้

\begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6g(x)+12\\h(2x-1)&=&6(x-2)+12\\h(2x-1)&=&6x\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(h(2x-1)=6x\) เราต้องหา \(h(x)\) ให้ได้ เริ่มหาเลย

จาก \(h(2x-1)=6x\)

กำหนดให้ \(B=2x-1\) ได้ว่า \(x=\frac{B+1}{2}\) นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6x\\h(B)&=&6(\frac{B+1}{2})\\h(B)&=&3B+3\\so\\h(x)&=&3x+3\\then\\h'(x)&=&3\end{array}

เราจะเห็นว่า \(h'(x)=3\) เสมอ ไม่ว่า \(x\) จะเป็นเลขอะไรก็ตาม ดังนั้น \(h'(0)=3\quad\underline{Ans}\) 

6. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+ax+b\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ \(L_{1}\)  และ \(L_{2}\)  เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ \(x=a\) และ \(x=b\) ตามลำดับ  ถ้า \(L_{1}\) ขนานกับ \(L_{2}\) และ \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\) แล้วค่าของ \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ หาความชันของ \(f\) ที่จุด\((x,y)\) ใดๆก่อนซึ่งความชันคือ

\[f'(x)=3x^{2}+a\]

ความชันของ \(f\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆคือ \(f'(x)=3x^{2}+a\)

จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{1}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=a\) ดังนั้น

ความชันของเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(3a^{2}+a\)

จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง \(L_{2}\) สัมผัสเส้นโค้ง \(f\) ที่จุด \(x=b\) ดังนั้น

ความชันของเส้นตรง \(L_{2}\) คือ \(3b^{2}+a\)

เนื่องจาก \(L_{1}\) กับ \(L_{2}\) ขนานกัน ดังนั้นความชันเท่ากัน จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}3a^{2}+a&=&3b^{2}+a\\so\\a^{2}&=&b^{2}\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) เอาไว้ก่อน ต่อไปมาทางฟังก์ลิมิตที่โจทย์กำหนดให้มาบ้างคือ

\[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\]

ต่อก่อนจะหาลิมิต เราหาพวก \(f(1+h)\) กับ \(f(1)\) เก็บไว้ก่อนคับ   จาก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\so\\f(1+h)&=&(1+h)^{3}+a(1+h)+b\\f(1+h)&=&h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b\\and\\f(1)&=&1^{3}+a(1)+b\end{array}

ต่อไปหาลิมิตเลยคับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{[(1+h)^{3}+a(1+h)+b]-[1^{3}+a(1)+b]}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b-1-a-b}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h(h^{2}+3h+3+a)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9}{h^{2}+3h+3+a}&=&1\\\frac{9}{0^{2}+3(0)+3+a}&=&1\\\frac{9}{3+a}&=&1\\a&=&6\quad\cdots (2)\end{array}

ตอนนี้เราได้สมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) คือ

\[a^{2}=b^{2}\quad\cdots (1)\]

\[a=6\quad\cdots (2)\]

แทน \(a\) ด้วย \(6\) ลงในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}6^{2}&=&b^{2}\\36&=&b^{2}\\so\\b&=&\pm 6\end{array}

แต่เนื่องจากโจทย์บอกว่า \(a\) กับ \(b\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เราจึงได้ว่า \(b\) ต้องเท่ากับ \(-6\)

นั่นก็คือ จะได้ \(f(x)\) แล้วคับก็คือ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\f(x)&=&x^{3}+6x-6\end{array}

จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{3}+6x-6)dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}-6x\Big|_{0}^{2}\\&=&4+12-12\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}

1. ถ้า \(cos\theta-sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\) แล้วค่าของ \(sin2\theta\) เท่ากับเท่าใด (pat 1 มี.ค 52/11)

วิธีทำ  โจทย์ให้หาค่านี้คับ \(sin2\theta\)  ซึ่งเป็นมุมสองเท่าถ้าใครจำสูตรของมุมสองเท่าได้สบายเลยครับข้อนี้ซึ่งถ้าเราจำสูตรได้จะได้ว่า

\[sin2\theta=2sin\theta cos\theta\]

ดังนั้นข้อนี้ก็คือให้เราหาค่าของ \(2sin\theta cos\theta\) นั่นเองครับ 

เริ่มจากสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ  \(cos\theta-sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\)  แล้วทำไงต่อ ถ้าเจออย่างนี้ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างดูเลยคับจะได้

\begin{array}{lcl}(cos\theta-sin\theta)^{2}&=&(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}\\cos^{2}\theta-2sin\theta cos\theta+sin^{2}\theta&=&\frac{5}{9}\\ cos^{2}\theta+sin^{2}\theta-2sin\theta cos\theta&=&\frac{9}{5}\\-2sin\theta cos\theta&=&\frac{9}{5}-1\\-2sin\theta cos\theta&=&-\frac{4}{9}\\2sin\theta cos\theta&=&\frac{4}{9}\end{array}

อย่าลืมเอกลักษณ์ตรีโกรมิตินะคับว่า  \(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\)

ดังนั้นข้อนี้ก็เลยตอบ \(\frac{4}{9}\)  นั่นเอง

2. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เท่ากับ \(60^{\circ}\) , \(BC=\sqrt{6}\) และ \(AC=1\)  ค่าของ \(cos(2B)\) เท่ากับเท่าใด (pat 1 มี.ค.52/12)

วิธีทำ  ยังไงข้อนี้ก็ต้องวาดรูปดูก่อนครับ เป็นสามเหลี่ยมใดๆที่มีมุม A,B,C ดังนี้

จากรูปสามเหลี่ยมที่เขาให้มา ข้อนี้รู้เลยว่าต้องใช้กฎของไซน์หาคำตอบ ใครที่ยังไม่รู้ว่ากฎของไซน์ เป็นอย่างไรก็ไปอ่านตามลิงก่อน จากรูปและกฎของไซน์เราก็จะได้ว่า

1.ถ้า \(f^{'}(x)=x^{2}-1\) และ \(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=0\) แล้ว \(|f(1)|\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f^{'}(x)dx\\&=&\displaystyle\int (x^{2}-1)dx\\&=&\frac{x^{3}}{3}-x+c\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ (1) ไว้ก่อนต่อไปไปหาค่า \(c\) เพื่อเอาไปแทนในสมการ (1) จาก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)&=&0\\\displaystyle\int_{0}^{1}(\frac{x^{3}}{3}-x+c)dx&=&0\\\frac{x^{4}}{4\cdot 3}-\frac{x^{2}}{2}+cx \Big|_{0}^{1}&=&0\\-\frac{5}{12}+c&=&0\\c&=&\frac{5}{12}\end{array}

แทน \(c\) ด้วย \(\frac{5}{12}\) ในสมการ (1) จะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{x^{3}}{3}-x+\frac{5}{12}\\so\\f(1)&=&\frac{1}{3}-1+\frac{5}{12}\\&=&-\frac{1}{4}\end{array}

นั่นคือ \(|f(1)|=|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}\)

2. กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชัน โดยที่ \(f^{"}(x)=6x+4\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 แล้ว ค่าของ \(f(1)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f^{'}(x)&=&\displaystyle\int f^{"}(x)dx\\&=&\displaystyle\int (6x+4)dx\\&=&3x^{2}+4x+c_{1}\\so\\f^{'}(x)&=&3x^{2}+4x+c_{1}\quad \cdots (1)\end{array}

เราต้องหาค่า \(c_{1}\) ให้ได้ก่อนคับ

เนื่องจาก \(f^{'}(x)=3x^{2}+4x+c_{1}\) คือ ความชันของเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆ ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 คือ

\begin{array}{lcl}f^{'}(x)&=&3x^{2}+4x+c_{1}\\f^{'}(2)&=&3(2^{2})+4(2)+c_{1}\\19&=&12+8+c_{1}\\c_{1}&=&-1\end{array}

ต่อไปนำค่า\(c_{1}=-1\) ไปแทนในสมการ (1) จะได้

\[f^{'}(x)=3x^{2}+4x-1\]

ต่อไปนำ \(f^{'}(x)\) ไปอินทิเกรตเพื่อหาค่าของ \(f(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f^{'}(x)dt\\&=&\displaystyle\int (3x^{2}+4x-1)dx\\&=&x^{3}+2x^{2}-1x+c_{2}\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราก็หาค่าของ \(c_{2}\) คับ วิธีการหาก็คือเราจะเห็นว่าโจทย์บอกว่าความชันเส้นโค้งที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 ก็คือเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((2,19)\) นั่นเองคับผม หรือก็คือ \(f(2)=19\) นั่นเองคับผม เริ่มหา \(c_{2}\) กันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+2x^{2}-x+c_{2}\\f(2)&=&2^{3}+2(2)^{2}-2+c_{2}\\19&=&8+8-2+c_{2}\\c_{2}&=&5\end{array}

ดังนั้น จะได้

\[f(x)=x^{3}+2x^{2}-x+5\]

นั่นคือ

\(f(1)=1^{3}+2(1)^{2}-1+5=7\quad \underline{Ans}\)

3. ถ้า \(f'(x)=3x^{2}+x=5\) และ \(f(0)=1\) แล้ว \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{5}{3}\)
2. \(\frac{7}{3}\)
3. \(\frac{2}{3}\)
4. \(\frac{1}{3}\)

วิธีทำ  เข้านี้เราก็ก็หา \(f(x)\) ให้มันได้ก่อนแล้วก็อินทิเกรตหาคำตอบ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl} f'(x)&=&3x^{2}+x-5\\so\\f(x)&=&\displaystyle\int f'(x) dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (3x^{2}+x-5)dx\\f(x)&=&x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+c\\because\\ f(0)&=&1\\ then\\f(0)&=&0^{3}+\frac{0^{2}}{2}-5+c\\1&=&-5+c\\so\\c&=&6\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่า \(c\) แล้วคือ \(c=6\) เอาค่า\(c\) นี้ไปแทนค่าใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+6\]

ต่อไปเราก็หา \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx\)  เลยคับผม จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+6&=&\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{6}-5x+6x \Big|_{-1}^{1}\\&=&(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-5+6)-(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+5-6)\\&=&\frac{1}{3}-10+12\\&=&\frac{7}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}

4. กำหนดให้ \(y=f(x)\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีค่าสูงสุดที่ \(x=1\)

ถ้า \(f''(x)=-4\) ทุก \(x\)  และ  \(f(-1)+f(3)=0\) แล้ว \(f\) มีค่าสูงสุดเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์เขาบอกว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุดที่ \(x=1\) แล้วโจทย์เขาถามว่า \(f\) มีค่าสูงสุดเท่าใด พูดง่ายก็คือหาค่า \(f(1)\) นั่นเองหรือก็คือ ถ้า \(x=1\) ค่า \(y\) จะเป็นเท่าใดนั่นเอง

สรุปก็คือข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้ได้ก่อน แล้วค่อยหา \(f(1)\) ก็จะได้คำ่ตอบ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}f''(x)=-4\\so\\f'(x)&=&\displaystyle\int f''(x)dx\\f'(x)&=&\displaystyle\int -4dx\\f'(x)&=&-4x+C_{1}\end{array}

ต่อไปหา \(f(x)\) คับ การหา \(f(x)\) ก็คือเราต้องไปอินทิเกรต \(f'(x)\) คับจะได้

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&-4x+C_{1}\\so\\f(x)&=&\displaystyle\int f'(x)dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (-4x+C_{1})dx\\f(x)&=&-2x^{2}+C_{1}x+C_{2}\quad\cdots (1)\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(f(x)\) แล้ว แต่ติดปัญญาตรงที่เรายังไม่รู้ค่าของ \(C_{1}\) และ \(C_{2}\)  เราต้องหาพวกนี้ให้ได้ก่อนคับผม เริ่มหาเลย

จากโจทย์บอกว่าฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดที่ \(x=1\) ที่จุดสูงสุดหรือว่าที่จุดวิกฤต ฟังก์ชันจะมีความชันเท่ากับ \(0\)  ซึ่งความชันของของ \(y=f(x)\) คือ \(f'(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&0\\-4x+C_{1}&=&0\\ at\quad x=1 ,f'(x)=0 \quad then\\(-4)(1)+C_{1}&=&0\\so\\C_{1}&=&4\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(C_{1}\) แล้วนะคับ เอาค่าของ \(C_{1}\) ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=-2x^{2}+4x+C_{2}\]

ต่อไปหาค่าของ \(C_{2}\) ต่อคับ

จาก

\begin{array}{lcl}f(-1)+f(3)&=&0\\(-2-4+C_{2})+(-18+12+C_{2})&=&0\\-12+2C_{2}&=&0\\C_{2}&=&6\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(C_{1}\) และ \(C_{2}\) ครบแล้ว จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-2x^{2}+C_{1}x+C_{2}\\f(x)&=&-2x^{2}+4x+6\end{array}

ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดคือ

\begin{array}{lcl}f(1)&=&-2(1)^{2}+4(1)+6\\&=&-2+4+6\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}

5.กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริงถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชันโดยที่ \(f'(x)=3\sqrt{x}+5\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และ \(f(1)=5\) แล้วค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{f(x^{2})-2}{f(x)}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการผสมผสานกันระหว่างความรู้เรื่องลิมิตของฟังก์ชัน กับ  อินทิเกรต ต้องใช้ความรู้เยอะหน่อยแต่ไม่ยากครับผม เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f'(x)dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (3x^{\frac{1}{2}}+5)dx\\f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x+c\\because\quad f(1)=5\quad then\\f(1)&=&2+5+c\\5&=&7+c\\c&=&-2\\so\\f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x-2\end{array}

ต่อไป เราจะหาค่า \(f(x^{2})\) เพื่อเอาไปแทนค่าใน ลิมิต จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x-2\\so\\f(x^{2})&=&2(x^{2})^{\frac{3}{2}}+5x^{2}-2\\&=&2x^{3}+5x^{2}-2\end{array}

ต่อไป ไปหาค่าลิมิตกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{f(x^{2})-2}{f(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{2x^{3}+5x^{2}-2-2}{2x^{\frac{3}{2}}+5x-2}\\&=&\frac{2(4)^{3}+5(4)^{2}-2-2}{2(4)^{\frac{3}{2}}+5(4)-2}\\&=&\frac{128+80-4}{16+20-2}\\&=&\frac{204}{34}\\&=&6\quad\underline{Ans}\end{array}

6. กำหนดให้ \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสอง ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\)  ที่จุด \((1,2)\) มีค่าเท่ากับ \(4\) และ \(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx=12\) แล้ว \(f(-1)+f''(-1)\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้เจอคับ ซึ่งในการหายากพอสมควร พยายามอ่านตามดีๆนะ  โจทย์บอกว่า \(f(x)\)เป็นพหุนามกำลังสอง ดังนั้น ผมกำหนดให้ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) เมื่อ \(a,b,c\in R\) และ \(a\neq 0\)

เริ่มหา กันเลยก็คือ หาค่า \(a,b,c\) นั่นเองคับ 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\so\\f'(x)&=&2ax+bx\end{array}

เนื่องจาก \(f'(x)\) คือความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \((x,y)\) ใดๆ ดังนั้นความชันของเส้นโค้งในจุด \((1,2)\) มีค่าเท่ากับ 4 คือ

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&2ax+b\\4&=&2a(1)+b\\2a+b&=&4\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ เดี๋ยวได้ใช้แน่

ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx=12\) จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx&=&12\\\displaystyle\int_{-1}^{2}(ax^{2}+bx+c)dx&=&12\\\frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx\Big|_{-1}^{2}&=&12\\\left(\frac{8a}{3}+2b+2x\right)-\left(-\frac{a}{3}+\frac{b}{2}-c\right)&=&12\\3a+\frac{3b}{2}+3c&=&12\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปผมนำ \(\frac{2}{3}\) คูณเข้าสมการ (2) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{2}{3}(3a+\frac{3b}{2}+3c&=&12\frac{2}{3}\\2a+b+2c&=&8\quad\cdot (3)\end{array}

ต่อไปให้เราไปดูสมการ \((1)\) จะเห็นว่า \(2a+b=4\) เอาตรงนี้ไปแทนในสมการ \((3)\) ได้เลยจะได้

\begin{array}{lcl}2a+b+2c&=&8\\4+2c&=&8\\c&=&2\end{array}

ดังนั้น \(c=2\) เอาค่า \(c\) ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้ \(f(x)=ax^{2}+bx+2\) แต่ยังนำไปหาคำตอบไม่ได้เพราะยังติดค่าของ \(a\) กับ \(b\)  ต้องไปหาค่าของ \(a,b\) อีก

จากโจทย์เราจะเห็นว่าเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((1,2)\) นะ เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+2\\ because (1,2)\in f(x)\\then\\f(1)&=&a(1)^{2}+b(1)+2\\2&=&a+b+2\\a+b&=&0\quad\cdots (4)\end{array}

ให้เราไปดูสมการที่ \((1)\) กับ \((4)\) คือ

\[2a+b=4\quad\cdot (1)\]

\[a+b=0\quad\cdot (4)\]

นำสมการ \((1)-(4)\) จะได้

\begin{array}(2a+b)-(a+b)&=&4-0\\a&=&4\end{array}

แทน \(a\) ด้วย \(4\) ในสมการที่ \((4)\) จะได้ \(b=-4\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a,b,c\) ครบเรียบร้อยแล้วพร้อมที่จะหาคำตอบแล้วครับ เริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(x)&=&4x^{2}-4x+2\\so\\f'(x)&=&8x-4\\ and\\f''(x)&=&8\end{array}

เราจะได้ว่า

\(f(-1)=4(-1)^{2}-4(-1)+2=10\)

และ เนื่องจาก \(f''(x)=8\) ทุกค่าของ \(x\) ดังนั้น

\(f''(-1)=8\)

ดังนั้น

\[f(-1)+f''(-1)=10+8=18\quad\underline{Ans}\]

7. กำหนดให้ \(P(x)\) เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ \(P(x^{2}+3)=3x^{4}+24x^{2}+40\) และให้ \(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}P(t) dt\)  ค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{P(x)-f(x)}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ โจทย์ข้อนี้เราต้องหา \(P(x)\)  และ  \(f(x)\) ให้เจอคับถึงจะไปหาลิมิตได้

พิจารณา \(P(x^{2}+3)=3x^{4}+24x^{2}+40\) 

กำหนดให้ \(A=x^{2}+3\) จะได้ \(x^{2}=A-3\)  จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x^{2}+3)&=&3x^{4}+24x^{2}+40\\P(A-3+3)&=&3(A-3)^{2}+24(A-3)+40\\P(A)&=&3(A^{2}-6A+9)+24A-72+40\\P(A)&=&3A^{2}-18A+27+24A-32\\P(A)&=&3A^{2}+6A-5\\so\\P(x)&=&3x^{2}+6x-5\\or\\P(t)&=&3t^{2}+6t-5\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(P(x)\) แล้ว ต่อไปก็หา \(f(x)\) เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x}P(t) dt\\f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x}(3t^{2}+6t-6)dt\\f(x)&=&t^{3}+3t^{2}-5t\Big|_{0}^{x}\\f(x)&=&(x^{3}+3x^{2}-5x)-(0)\\so\\f(x)&=&x^{3}+3x^{2}-5x\end{array}

ตอนนี้เราได้ของครบแล้วคือ

\[f(x)=x^{3}+3x^{2}-5x\]

\[P(x)=3x^{2}+6x-5\]

เริ่มกระบวนการหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{P(x)-f(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{(3x^{2}+6x-5)-(x^{3}+3x^{2}-5x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{6x-5-x^{3}+5x}\\&=&\sqrt{6(2)-5-(2)^{3}+5(2)}\\&=&\sqrt{12-5-8+10}\\&=&\sqrt{9}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}

8. ให้ \(L\) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \((0,10)\) และมีความชันมากกว่า \(-1\) แต่น้อยกว่า \(0\) ถ้าพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=6\) มีค่าเท่ากับ \(51\) ตารางหน่วยแล้ว จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=3\)

วิธีทำ ดูรูปภาพประกอบนะคับ ให้ \((x,y)\) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง \(L\) และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \((0,10)\) ทำให้ได้สมการของเส้นตรง \(L\) นี้คือ

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-10&=&m(x-0)\\y-10&=&mx\\y&=&mx+10\end{array}

เมื่อ \(m\) คือความชันของเส้นตรง

ตอนนี้เราได้สมการของเส้นตรง \(L\) แล้วคือ \(y=mx+10\)  แต่ยังไม่รู้ค่าของ \(m\) 

ต่อไปเราก็ไปหาค่าของ \(m\) ซึ่งหาได้จาก

\[\displaystyle\int_{0}^{6}(mx+10)dx=51\]

เริ่มหา \(m\) กันเลยคับ จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{6}(mx+10)dx&=&51\\\frac{mx^{2}}{2}+10x\Big|_{0}^{6}&=&51\\18m+60&=&51\\so\\m&=&-\frac{9}{18}\\m&=&-\frac{1}{2}\end{array}

ตอนนี้เรารู้ค่า \(m\) แล้ว ดังนั้น เส้นตรง \(L\) นี้มีสมการคือ \(y=-\frac{1}{2}x+10\)  ดังนั้นตอนนี้เราสามารถหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=3\) ได้แล้ว นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{3}(-\frac{1}{2}x+10)dx&=&-\frac{x^{2}}{4}+10x\Big|_{0}^{3}\\&=&-\frac{9}{4}+30\\&=&\frac{111}{4}\\&=&27.75\end{array}

ดังนั้นข้อนี้ตอบ 27.75  ตารางหน่อย

9. กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มี \(f''(x)=ax+b\)  เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง  ถ้า \(f(0)=2\)  และกราฟของ \(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \((1,-5)\) แล้ว \(2a+3b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

วิธีทำ เราจะหา \(f'(x)\) ก่อนนะคับ ซึ่ง

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&\displaystyle\int f''(x) dx\\f'(x)&=&\displaystyle\int (ax+b) dx\\f'(x)&=&\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1}\end{array}

ที่จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \((1,-5)\) จะมีความชันเท่ากับ \(0\) อย่าลืมนะไอ้พวกที่เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์หรือจุดสูงสุดสัมพัทธ์จุดพวกนี้มันคือจุดวิกฤตจะมีความชันเท่ากับ \(0\) ซึ่งความชันของเส้นโค้งก็คือ \(f'(x)\) นั่นเอง ดังนั้นที่จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ \((1,-5)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&0\\\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1}&=&0\\ because\quad x=1\\then\\\frac{a(1)^{2}}{2}+b(1)+c_{1}&=&0\\\frac{a}{2}+b+c_{1}&=&0\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ

ต่อไปเราจะหา \(f(x)\) ซึ่งหาได้จากการอินทิเกรต \(f'(x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f'(x) dx\\&=&\displaystyle\int (\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1})dx\\&=&\frac{ax^{3}}{6}+\frac{bx^{2}}{2}+c_{1}x+c_{2}\\because\quad f(0)=2\\then\\f(0)&=&\frac{a(0)^{3}}{6}+\frac{b(0)^{2}}{2}+c_{1}(0)+c_{2}\\2&=&c_{2}\end{array}

เนื่องจาก \(c_{2}=2\) เราเอาค่า \(c_{2}=2\) นี้ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=\frac{ax^{3}}{6}+\frac{bx^{2}}{2}+c_{1}x+2\]

จากโจทย์เราจะเห็นว่ากราฟฟังก์ชัน \(f\) นี้ผ่านจุด \((1,-5\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(1)&=&\frac{a(1)^{3}}{6}+\frac{b(1)^{2}}{2}+c_{1}(1)+2\\-5&=&\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}+2\\\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}&=&-7\quad\cdots (2)\end{array}

ตอนนี้เราได้สมการมาสองสมการนะคับคือ สมการ \((1)\) และ \((2)\)

เราจะนำสมการนี้แหละคับมาแก้เพื่อหาค่าของ \(2a+3b\) คับ

จาก

\[\frac{a}{2}+b+c_{1}=0\quad\cdots (1)\]

\[\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}=-7\quad\cdots (2)\]

นำสมการ \((2)-(1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\left(\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}\right)-\left(\frac{a}{2}+b+c_{1}\right)&=&-7-0\\-\frac{4a}{12}-\frac{b}{2}&=&-7\quad\cdots (3)\end{array}

จัดรูปสมการที่ \((3)\) ให้ได้เป็น \(2a+3b\) จะได้ว่า

\(2a+3b=42\quad\underline{Ans}\)

10. กำหนดให้ \(A(0,0)\quad , B(1,0) \) และ \(C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้ากราฟของ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ผ่านจุด \(A(0,0)\) , \(B(1,0)\)  โดยที่ \(AC\) และ \(BC\) เป็นเส้นสัมผัสกราฟของ \(f\) ที่จุด \(A(0,0)\quad , B(1,0)\) ตามลำดับ แล้วพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f\) และเส้นตรง \(AB\) มีค่าเท่าใด

1. \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)
2. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
3. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
4. \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) 

วิธีทำ ข้อนี้ดูภาพประกอบนะคับ ค่อยๆอ่านโจทย์  ถ้าเราดูจากฟังก์ชัน \(f\) ที่จะเห็นว่ากราฟของฟังก์ชัน \(f\) เป็นพาราโบลาแน่นอน แต่จะคว่ำหรือหงายค่อยดูกันอีกที เริ่มทำเลยคับ

กราฟของ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ผ่านจุด \(A(0,0)\) , \(B(1,0)\) แสดงว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(0)&=&a(0)^{2}+b(0)+c\\0&=&0+0+c\\so\\c&=&0\end{array}

และ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(1)&=&a(1)^{2}+b(1)+c\\0&=&a+b+0\\so\\a+b&=&0\quad\cdots (1)\end{array}

มาดูเส้นตรง \(AC\) จะเห็นว่าเส้นตรงผ่านจุด \((0,0)\) และ \((\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) ดังนั้นเส้นตรงนี้มีความชันเท่ากับ

\(m=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{\frac{1}{2}-0}=\sqrt{3}\) และอีกอย่างหนึ่งที่โจทย์บอกมาก็คือ เส้นตรง \(AC\) นี้สัมผัสกราฟของ \(f\) ที่จุด \((0,0)\) ดังนั้นฟังก์ชัน \(f\) นี้มีความชันที่จุด \((0,0)\) เท่ากับ \(\sqrt{3}\) จริงไหมเรื่องความชันของเส้นโค้งเรียนมาแล้ว ซึ่งความชันของเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ หาได้โดยการดิฟฟังก์ชัน จึงได้ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด \((0,0)\) คือ

\[f'(x)=2ax+b\] 

แทน \(0\) ลงไปใน \(x\) ความชันของเส้นโค้งที่จุด \((0,0)\) นี้มีค่าเท่ากับ \(\sqrt{3}\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&2ax+b\\\sqrt{3}&=&2a(0)+b\\so\\b&=&\sqrt{3}\end{array}

เอาค่า \(b=\sqrt{3}\) ไปแทนในสมการ \((1)\) จะได้ \(a=-\sqrt{3}\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a=-\sqrt{3},b=\sqrt{3},c=0\) ครบแล้วจึงได้ว่า

\[f(x)=-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}x+0\]

ดังนั้นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f\) และเส้นตรง \(AB\) คือ

\[\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{1}(-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}x)dx\]

เริ่มหาพื้นที่กันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}(-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3})dx&=&-\frac{\sqrt{3}x^{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}\\&=&-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=&\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{6}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{6}\quad\underline{Ans}\end{array}