การดิฟ

1.3) \(y=5\sqrt[3]{x}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ง่ายมากๆ ถ้าโจทย์ติดราก ให้ทำเป็นเลขยกกำลังก่อนแล้วค่อยดิฟ มันจะง่ายครับผม

\begin{array}{lcl}y&=&5\sqrt[3]{x}\\y&=&5(x)^{\frac{1}{3}}\\y^{\prime}&=&5\frac{d}{dx}(x)^{\frac{1}{3}}\\y^{\prime}&=&5\cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}\\y^{\prime}&=&\frac{5}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\y^{\prime}&=&\frac{5}{3}\frac{1}{x^\frac{2}{3}}\\y^{\prime}&=&\frac{5}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\end{array}

1.4) \(y=3x^{4}+2x+1\)

วิธีทำ ข้อนี้ ง่ายครับผม เราก็ดิฟที่ละก้อนไปเลยครับผม  เริ่มทำกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}y&=&3x^{4}+2x+1\\y^{\prime}&=&3\frac{d}{dx}x^{4}+2\frac{d}{d}{dx}x+\frac{d}{dx}1\\y^{\prime}&=&3\cdot 4\cdot x^{3}+2(1)+0\\y^{\prime}&=&12x^{3}+2\end{array}

1.5) \(y=\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

วิธีทำ ข้อนี้เพื่อความง่ายในการดิฟ ควรจัดรูป \(y\) ใหม่ก่อนครับเพื่อให้ง่ายต่อการดิฟครับผม ลองไปดูกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}y&=&\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\\y&=&2x^{-2}+x^{-\frac{1}{2}}\\y^{\prime}&=&2\frac{d}{dx}x^{-2}+\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}\\y^{\prime}&=&-4x^{-2-1}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\\y^{\prime}&=&-4x^{-3}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\y^{\prime}&=&-4\cdot \frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\\y^{\prime}&=&-\frac{4}{x^{3}}-\frac{1}{2\sqrt{x^{3}}}\end{array}

1.6) \(y=\frac{3x^{4}+5x-3}{x^{2}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ดิฟผลหารเลยครับผม เริ่มทำเลยครับ

\begin{array}{lcl}y&=&\frac{3x^{4}+5x-3}{x^{2}}\\y^{\prime}&=&\frac{x^{2}\frac{d}{dx}(3x^{4}+5x-3)-(3x^{4}+5x-3)\frac{d}{dx}x^{2}}{(x^{2})^{2}}\\y^{\prime}&=&\frac{x^{2}\cdot (12x^{3}+5)-(3x^{4}+5x-3)(2x)}{x^{4}}\\y^{\prime}&=&\frac{(12x^{5}+5x^{2})-(6x^{5}+10x^{2}-6x)}{x^{4}}\\y^{\prime}&=&\frac{12x^{5}+5x^{2}-6x^{5}-10x^{2}+6x}{x^{4}}\\y^{\prime}&=&\frac{6x^{5}-5x^{2}+6x}{x^{4}}\\y^{\prime}&=&\frac{x(6x^{4}-5x+6)}{x^{4}}\\y^{\prime}&=&\frac{6x^{4}-5x+6}{x^{3}}\end{array}

1.7) \(y=(4x+5)(3x-4)\)

วิธีทำ ข้อนี้ดิฟผลคูณครับไปทำกันเลย ใครที่ยังดิฟผลคูณไม่เป็นไปอ่านตามลิงค์นะครับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}y&=&(4x+5)(3x-4)\\y^{\prime}&=&(4x+5)\frac{d}{dx}(3x-4)+(3x-4)\frac{d}{dx}(4x+5)\\y^{\prime}&=&(4x+5)\cdot (3)+(3x-4)\cdot (4)\\y^{\prime}&=&12x+15+12x-16\\y^{\prime}&=&24x-1\end{array}

2.จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ ณ จุดที่กำหนดให้

2.1) \(f(x)=\frac{x^{2}}{2x+1}\) ที่จุด \(x=2\)

วิธีทำ เริ่มทำการดิฟผลหาร กันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{x^{2}}{2x+1}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{(2x+1)\frac{d}{dx}x^{2}-(x^{2})\frac{d}{dx}(2x+1)}{(2x+1)^{2}}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{(2x+1)(2x)-(x^{2})(2)}{4x^{2}+4x+1}\\f^{\prime}(2)&=&\frac{(2(2)+1)(2(2))-((2)^{2})(2)}{4(2)^{2}+4(2)+1}\\f^{\prime}(2)&=&\frac{(5)(4)-(4)(2)}{16+8+1}\\f^{\prime}(2)&=&\frac{12}{25}\end{array}

2.2) \(f(x)=\left(\frac{3x-1}{5x+1}\right)^{4}\) ที่จุด \(x=1\)

วิธีทำ เริ่มทำเลยนะ อันนี้ดิฟดีๆนะครับ ต้องดิฟไส้นอก ดิฟไส้ใน ลองไปอ่านตามลิงค์นี้ก่อนนะครับสำหรับคนที่ยังทำไม่เป็น อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ  เริมทำกันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\left(\frac{3x-1}{5x+1}\right)^{4}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{d}{dx}\left(\frac{3x-1}{5x+1}\right)^{4}\\f^{\prime}(x)&=&4\left(\frac{3x-1}{5x+1}\right)^{4-1}\frac{d}{dx}\left(\frac{3x-1}{5x+1}\right)\\f^{\prime}(x)&=&4\left(\frac{3x-1}{5x+1}\right)^{3}\left[\frac{(5x+1)(3)-(3x-1)(5)}{(5x+1)^{2}}\right]\\f^{\prime}(1)&=&4\left(\frac{3(1)-1}{5(1)+1}\right)^{3}\left[\frac{(5(1)+1)(3)-(3(1)-1)(5)}{(5(1)+1)^{2}}\right]\\f^{\prime}(1)&=&4\left(\frac{2}{6}\right)^{3}\cdot \left[\frac{18-10}{36}\right]\\f^{\prime}(1)&=&4\left(\frac{2}{6}\right)^{3}\cdot \frac{8}{36}\\f^{\prime}(1)&=&\frac{2^{3}\times 8}{6^{3}\times 9}\\f^{\prime}(1)&=&\frac{8}{243}\end{array}

2.3) \(f(x)=\frac{\sqrt[3]{3x-2}}{x+4}\quad\text{ที่จุด}\quad x=-1\)

วิธีทำ ข้อนี้ก่อนที่จะดิฟเราต้อง ทำตัวที่ติดรากให้เป็นเลขยกกำลังก่อนนะคับผม เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{\sqrt[3]{3x-2}}{x+4}\\f(x)&=&\frac{(3x-2)^{1/3}}{x+4}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{(x+4)\frac{d}{dx}(3x-2)^{1/3}-(3x-2)^{1/3}\frac{d}{dx}(x+4)}{(x+4)^{2}}\\&=&\frac{(x+4)\cdot \frac{1}{3}(3x-2)^{-2/3}\cdot \frac{d}{dx}(3x-2)-(3x-2)^{1/3}\cdot (1)}{(x+4)^{2}}\\&=&\frac{(x+4)(\frac{1}{3})(3x-2)^{-2/3}(3)-(3x-2)^{1/3}}{(x+4)^{2}}\\f^{\prime}(1)&=&\frac{(-1+4)(\frac{1}{3})(3(-1)-2)^{-1/3}(3)-(3(-1)-2)^{1/3}}{(-1+4)^{2}}\\&=&\frac{(3)(\frac{1}{3})(-5)^{-2/3}-(-5)^{1/3}}{9}\\&=&\frac{(-5)^{-2/3}-(-5)^{1/3}}{9}\\&=&\frac{6}{\sqrt[3]{25}}\times \frac{1}{9}\\&=&\frac{2}{3\sqrt[3]{25}}\end{array}

2.4) \(f(x)=(\sqrt{7x+2})(2x^{2}+1)\) ที่จุด \(x=2)\)

วิธีทำ ใช้ดิฟผลคูณนะครับผมอันนี้

\begin{array}{lcl}f(x)=(\sqrt{7x+2})(2x^{2}+1)\\f(x)&=&(7x+2)^{1/2}(2x^{2}+1)\\f^{\prime}(x)&=&(7x+2)^{1/2}\cdot \frac{d}{dx}(2x^{2}+1)+(2x^{2}+1)\frac{d}{dx}(7x+2)^{1/2}\\&=&(7x+2)^{1/2}\cdot (4x)+(2x^{2}+1)\cdot \frac{1}{2}(7x+2)^{-1/2}\frac{d}{dx}(7x+2)\\&=&(7x+2)^{1/2}(4x)+(2x^{2}+1)(\frac{1}{2})(7x+2)^{-1/2}(7)\\f^{\prime}(2)&=&(16)^{1/2}(8)+(9)(\frac{1}{2})(16)^{-1/2}(7)\\&=&(4)(8)+\frac{9\times 7}{2\times 4}\\&=&32+\frac{63}{8}\\&=&\frac{319}{8}\end{array}

3. ให้ \(u\) และ \(v\) เป็นฟังก์ชันของ \(x\) โดยที่ \(v(x)=3x^{2}-5x\) ถ้า \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) และ \(u(2)=-9,u^{\prime} (2)=4\) แล้วค่าของ \(f^{\prime} (2)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  เริ่มทำเลยนะครับ ค่อยๆอ่านดีๆนะ

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\frac{v(x)\cdot u^{\prime} (x)-u(x)\cdot v^{\prime} (x)}{((v(x))^{2}}\\f^{\prime} (2)&=&\frac{v(2)\cdot u^{\prime} (2) - u(2)\cdot v^{\prime} (2)}{(v(2))^{2}}\\f^{\prime}(2)&=&\frac{(2)\cdot (4)-(-9)\cdot 7}{2^{2}}\\f^{\prime}(2)&=&\frac{71}{4}\quad\underline{Ans}\end{array}

มาดูคำอธิบาบการหาค่าแต่ละก้อนด้านล่างกัน

\(v(x)=3x^{2}-5x\)

\(v(2)=3(2)^{2}-(5)(2)=(3)(4)-10=12-10=2\)

\(v(x)=3x^{2}-5x\)

\(v^{\prime}(x)=6x-5\)

\(v^{\prime}(2)=6(2)-5=7\)

4. ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และ \(f(1)=-2,\quad f^{\prime}(1)=10\) ถ้า \(g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}+1}\) แล้วค่าของ \(g^{\prime}(1)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ เริ่มทำเลยนะครับผม

\begin{array}{lcl}g^{\prime}(x)&=&\frac{(x^{2}+1)\cdot f^{\prime}(x)-f(x)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}\\g^{\prime}(1)&=&\frac{(1^{2}+1)\cdot (10)-(-2)\cdot (2)}{4}\\g^{\prime}(1)&=&\frac{20+4}{4}\\g^{\prime}(1)&=&6\end{array}

5. ให้ \(f(x)=x^{3}-x^{2}+g(x)\) และ \(f^{\prime}(x)=f(2)=2\) จงหาค่าของ \(\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(2)\)

วิธีทำ   จากโจทย์จะได้ว่า

\(\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{f(x)-x^{3}+x^{2}}{x^{3}-x^{2}+g(x)}\)  

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(x)&=&\frac{[x^{3}-x^{2}+g(x)]\cdot [f^{\prime}(x)-3x^{2}+2x]-[f(x)-x^{3}+x^{2}]\cdot [3x^{2}-2x+g^{\prime}(x)]}{[x^{3}-x^{2}+g(x)]^{2}}\\\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(2)&=&\frac{[8-4-2]\cdot [2-12+4]-[2-12+4]-[2-8+4]\cdot[12-4-6]}{(8-4-2)^{2}}\\\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(2)&=&\frac{-12+4}{4}=-2\quad\underline{Ans}\end{array}

คำอธิบายเพิ่มเติม

เนื่องจาก 

\begin{array}{lcl}f(x)=x^{3}-x^{2}+g(x)\\so\\g(x)&=&f(x)-x^{3}+x^{2}\\so\\g^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(x)-3x^{2}+2x\\so\\g^{\prime}(2)&=&2-12+4\\&=&-6\end{array}

เนื่องจาก

\(g(x)=f(x)-x^{3}+x^{2}\)

\(g(2)=f(2)-2^{3}+2^{2}=2-8+4=-2\)

6. กำหนด \(f\) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ \(F(x)=\sqrt{(f(x))^{3}+15}\) ถ้า \(F(1)=f^{\prime}(1)=4\) แล้ว \(F^{\prime}(1)\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ  

\begin{array}{lcl}F(x)&=&\sqrt{(f(x))^{3}+15}\\F(x)&=&\left((f(x))^{3}+15\right)^{\frac{1}{2}}\\F^{\prime}(x)&=&\frac{1}{2}\left((f(x))^{3}+15\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 3(f(x))^{2}\cdot f^{\prime}(x)\\F^{\prime}(1)&=&\frac{1}{2}\left((f(1))^{3}+15\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 3(f(1))^{2}\cdot f^{\prime}(1)\\F^{\prime}(1)&=&\frac{1}{2}\left(1+15\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3)(1)(4)\\F^{\prime}(1)&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{16}}\cdot 12\\F^{\prime}(1)&=&\frac{3}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}

อธิบายเพิ่มเติม

จาก

\begin{array}{lcl}F(x)&=&\sqrt{(f(x))^{3}+15}\\F(1)&=&\sqrt{(f(1))^{3}+15}\\4&=&\sqrt{(f(x))^{3}+15}\\4^{2}&=&(f(1))^{3}+15\\(f(1))^{3}&=&1\\so\\(f(1))^{2}&=&1 \end{array}

7. ให้ \(u\) และ \(v\) เป็นฟังก์ชันของ \(x\) โดยที่ \(v(x)=x^{2}-2x\) ถ้า \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) และ \(u(3)=-9,u^{\prime}(3)=3\)  แล้วจงหาค่าของ \(f^{\prime}(3)\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{v(x)\cdot u^{\prime}(x)-u(x)\cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}\\f^{\prime}(3)&=&\frac{v(3)\cdot u^{\prime}(3)-u(3)\cdot v^{\prime}(3)}{(v(3))^{2}}\\f^{\prime}(3)&=&\frac{(3)\cdot (3)-(-9)\cdot 4}{9}=\frac{9+36}{9}=5\quad\underline{Ans}\end{array}

อธิบายเพิ่มเติม

จาก

\(v(x)=x^{2}-2x\)

\(v(3)=3^{2}-2(3)=3\)

\((v(3))^{2}=3^{2}=9\)

\(v^{\prime}(x)=2x-2\)

\(v^{\prime}(3)=2(3)-2=4\)

1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(y=(4x-x^{2})(x^{2}+3)\)

วิธีทำ  จากโจทย์เขาให้เราหาอนุพันธ์ของ \(y=(4x-x^{2})(x^{2}+3)\) ซึ่งจะเห็นได้ว่ามีก้อนสองก้อนคูณกันอยู่ ดังนั้นเราต้องดิฟผลคูณ ซึ่งต้องใช้สูตรดิฟผลคูณ คือ หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า

หน้า ก็คือ \(4x-x^{2}\)

หลังก็คือ \(x^{2}+3)\)

เอาละเริ่มทำกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}y&=&(4x-x^{2})(x^{2}+3)\\\frac{dy}{dx}&=&(4x-x^{2})\frac{d}{dx}(x^{2}+3)+(x^{2}+3)\frac{d}{dx}(4x-x^{2})\\&=&(4x-x^{2})(2x+0)+(x^{2}+3)(4-2x)\\&=&(4x-x^{2})(2x)+(x^{2}+3)(4-2x)\\&=&(8x^{2}-2x^{3})+(4x^{2}+12-8x^{3}-6x)\\&=&-10x^{3}+12x^{2}-6x+12\end{array}

2. กำหนดให้ \(y=(2x^{4}-1)(5x^{3}+6x)\) จงหา \(\frac{dy}{dx}\)

วิธีทำ  เริ่มทำเลยครับผม

\begin{array}{lcl}y&=&(2x^{4}-1)(5x^{3}+6x)\\\frac{dy}{dx}&=&(2x^{4}-1)\frac{d}{dx}(5x^{3}+6x)+(5x^{3}+6x)\frac{d}{dx}(2x^{4}-1)\\&=&(2x^{4}-1)(15x^{2}+6)+(5x^{3}+6x)(8x^{3}-0)\\&=&30x^{6}-15x^{2}+12x^{4}-6+40x^{6}+48x^{4}\\&=&70x^{6}+60x^{4}-15x^{2}-6\end{array}

3. กำหนด \(f(x)=(2x^{3}-3x^{2})(\frac{1}{4}x^{4}-5)\) จงหาค่าของ \(f^{\prime}(1)\)

วิธีทำ เริ่มทำเลย ข้อนี้ก็คือให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ที่ x=1 นั่นเองครับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&(2x^{3}-3x^{2})(\frac{1}{4}x^{4}-5)\\f^{\prime}(x)&=&(2x^{3}-3x^{2})\frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^{4}-5)+(\frac{1}{4}x^{4}-5)\frac{d}{dx}(2x^{3}-3x^{2})\\&=&(2x^{3}-3x^{2})(\frac{4}{4}x^{3}-0)+(\frac{1}{4}x^{4}-5)(6x^{2}-6x)\\f^{\prime}(1)&=&(2(1)^{3}-3(1)^{2})(1^{3}-0)+(\frac{1}{4}1^{4}-5)(6(1^{2})-6(1))\\&=&(-1)(1)+(\frac{-19}{4})(0)\\&=&-1\quad \underline{Ans}\end{array}

1. กำหนดให้ \(y=\frac{2x+1}{2x-1}\) จงหาอนุพันธ์ของ \(y\)

วิธีทำ เริ่มทำเลยนะครับ

\begin{array}{lcl}y&=&\frac{2x+1}{2x-1}\\\frac{dy}{dx}&=&\frac{(2x-1)\cdot \frac{d}{dx}(2x+1)-(2x+1)\frac{d}{dx}(2x-1}{(2x-1)^{2}}\\&=&\frac{(2x-1)(2-0)-(2x+1)(2-0)}{4x^{2}-4x+1}\\&=&\frac{(2x-1)2-(2x+1)2}{4x^{2}-4x+1}\\&=&\frac{(4x-2)-(4x+2)}{4x^{2}-4x+1}\\&=&\frac{-4}{4x^{2}-4x+1}\end{array}

2. กำหนดให้ \(y=\frac{x-3}{2x+5}\) จงหา \(\frac{dy}{dx}\)

วิธีทำ  จาก \(y=\frac{x-3}{2x+5}\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{(2x+5)\frac{d}{dx}(x-3)-(x-3)\frac{d}{dx}(2x-5)}{(2x+5)^{2}}\\&=&\frac{(2x+5)(1-0)-(x-3)(2+0)}{(2x+5)^{2}}\\&=&\frac{2x+5-2x+6}{(2x+5)^{2}}\\&=&\frac{11}{(2x+5)^{2}}\end{array}

3. กำหนดให้ \(y=\frac{(x^{2}+1)(2x-3)}{x^{3}+1}\) จงหา \(f^{\prime}(1)\)

วิธีทำ  จาก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{(x^{2}+1)(2x-3)}{x^{3}+1}\\&=&\frac{2x^{3}-3x^{2}+2x-3}{x^{3}+1}\end{array}

จะได้

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\frac{(x^{3}+1)(6x^{2}-6x+2-0)-(2x^{3}-3x^{2}+2x-3)(3x^{2}+0)}{(x^{3}+1)^{2}}\\f^{\prime}(1)&=&\frac{(2)(2)-(-2)(3)}{4}\\&=&\frac{10}{4}\\&=&\frac{5}{2}\end{array}

4. กำหนดให้ \(y=(x^{4}+3)(-4x^{5}+5x^{4}+5)\)  จงหา \(\frac{dy}{dx}\)

วิธีทำ จาก \(y=(x^{4}+3)(-4x^{5}+5x^{4}+5)\)

จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&(x^{4}+3)\frac{d}{dx}(-4x^{5}+5x^{4}+5)+(-4x^{5}+5x^{4}+5)\frac{d}{dx}(x^{4}+3)\\&=&(x^{4}+3)(-20x^{4}+20x^{3}+0)+(-4x^{5}+5x^{4}+5)(4x^{3}+0)\\&=&-20x^{8}+20x^{7}-60x^{4}+60x^{3}-16x^{8}+20x^{7}+20x^{3}\\&=&-36x^{8}+40x^{7}-60x^{4}+80x^{3}\end{array}

ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (59)

ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (60)

ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (63)

ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (64)

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน,สูตรดิฟ

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(6x^{4}-4x^{3})\\&=&24x^{3}-12x^{2}\end{array}

6) ถ้า \(c\) เป็นค่าคงตัว  และ \(f\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x)\)  แล้ว  \(cf)^{\prime}(x)=c(f^{\prime}(x)\)  พูดง่ายสูตรข้อนี้คือดึงค่าคงตัวออกก่อนแล้วค่อยหาอนุพันธ์หรือดิฟ

\(y=5x\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(5x)\\&=&5\frac{d}{dx}(x)\\&=&5(1)\\&=&5\end{array}

7) ถ้า \(f\)  และ \(g\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((fg)^{\prime}(x)=f(x)g^{\prime}(x)+g(x)f^{\prime}(x)\)

สูตรดิฟผลคูณที่เราชอบท่องกันว่าหน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

ตัวอย่างเช่น

\(y=x(x^{2}+3)\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}x(x^{2}+3)\\&=&x\frac{d}{dx}(x^{2}+3)+(x^{2}+3)\frac{d}{dx}(x)\\&=&x(2x)+(x^{2}+3)(1)\\&=&3x^{2}+3\end{array}

8) ถ้า \(f\)  และ \(g\)  หาอนุพันธ์ได้ที่ \(x\)  แล้ว  \((\frac{f}{g})^{\prime}=\frac{g(x)f^{\prime}(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{(g(x))^{2}}\) นี่คือสูตรการดิฟผลหารนะครับ เรามักท่องว่าล่างดิฟบน ลบ บนดิฟล่าง หาร ล่างกำลังสอง

ตัวอย่างเช่น

\(y=\frac{x}{x+1}\)

\begin{array}{lcl}\frac{dy}{dx}&=&\frac{d}{dx}(\frac{x}{x+1})\\&=&\frac{(x+1)\frac{d}{dx}(x)-((x)\frac{d}{dx}(x+1))}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{(x+1)-((x)(1)}{(x+1)^{2}}\\&=&\frac{1}{(x+1)^{2}}\end{array}

หลังจากที่เรียนรู้สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้วหรือสูตรดิฟแล้วต่อไปก็ทำแบบฝึกหัดต่อที่ลิงค์นี้เลยครับ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือการดิฟ