ความแปรปรวน

เริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่าครับแบบฝึกหัดไม่ยากนะครับแต่จะเน้นความเข้าใจและความรู้พื้นฐานครับ

1. ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 4 คน ถ้าอายุของบิดา มารดา และบุตรทั้งสี่คน เป็น 45,  42,  20,  17,  16  และ 14  ปีตามลำดับ  จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุของสมาชิกทุกคนในครอบครัวนี้ และในอีก 5 ปีข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุสมาชิกทุกคนในครอบครัวนี้จะเป็นอย่างไร

วิธีทำ

อายุของคนในครอบครัวนี้เป็น 45,42,20,17,16,14  จะได้ว่า

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(=\frac{45+42+20+17+16+14}{6}=\frac{154}{6}=25.67 \quad ปี\)

ต่อไปหาความแปรปรวนครับ ใช้สูตรนี้นะครับ เพราะข้อมูลที่เขาให้มาเป็นประชากรและเป็นข้อมูลแบบไม่แจกแจงความถี่ครับ

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-\mu^{2}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}}{6}-25.67^{2}\\&=&\frac{45^{2}+42^{2}+20^{2}+17^{2}+16^{2}+14^{2}}{6}-(25.67)^{2}\\&=&\frac{4930}{6}-658.9489\\&=&162.72\quad ปี^{2}\end{array}

เนื่องจากความแปรปรวน

\(\sigma^{2}=162.72\)

ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน\(\quad(\sigma)\)

\begin{array}{lc}\sqrt{\sigma^{2}}&=&\sqrt{162.72}\\\sigma&=&12.76 \quad ปี\end{array}

นั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ  12.76 ปี

ในอีก 5 ปีข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุสมาชิกในครอบครัวนี้จะมีค่าเท่าเดินนะครับเพราะว่าข้อมูลของเราเป็นอายุมันจะเพิ่มขึ้นเท่าเดิมเสมอครับ

2. ความแปรปรวนของน้ำหนักในรอบ 6 ปี ซึ่งมีนำหนัก 60,40,60,50,70 และ 80 กิโลกรัมตามลำดับเท่ากับกี่กิโลกรัม²

วิธีทำ  ก่อนจะหาความแปรปรวมเราต้องหาค่าเฉลี่ยก่อน จะได้ค่าเฉลี่ยคือ

\begin{array}{lcl}\overline{x}&=&\frac{60+40+60+50+70+80}{6}\\&=&\frac{360}{6}\\&=&60\end{array}

ต่อไปให้เราหาตัวนี้ครับ \((x_{i}-\overline{x})^{2}\) ก็คือเอาข้อมูลก็คือน้ำหนักของแต่ละปีไปลบกับค่าเฉลี่ยแล้วยกกำลังสองจะได้ดังนี้

\((60-60)^{2}=0^{2}=0\)

\((40-60)^{2}=(-20)^{2}=400\)

\((60-60)^{2}=0^{2}=0\)

\((50-60)^{2}=(-10)^{2}=100\)

\((70-60)^{2}=10^{2}=100\)

\((80-60)^{2}=20^{2}=400\)

ต่อไปเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}&=&0+400+0+100+100+400\\&=&1000\end{array}

ดังนั้นเราจะได้ความแปรปรวนของน้ำหนักคือ

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{N}\\&=&\frac{1000}{6}\quad kg^{2}\end{array}

3. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีความแปรปรวนเป็น \(8+\sqrt{60}\)  แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&8+\sqrt{60}\\so\\S.D.&=&\sqrt{8+\sqrt{60}}\\&=&\sqrt{8+2\sqrt{15}}\\&=&\sqrt{5}+\sqrt{3}\end{array}

4. จากการคำนวณอายุเฉลี่ยของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น 6 คน ได้เป็น 15 ปี ผลบวกกำลังสองของอายุแต่ละคนเป็น 1404 ปี ความแปรปรวนของอายุคน 6 คนนี้เป็นกี่ปี²

วิธีทำ  จากโจทย์ได้ว่า

\(\overline{x}=15\)

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=1404\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\overline{x})^{2}\\&=&\frac{1404}{6}-15^{2}\\&=&9\end{array}

สามารถศึกษาเกี่ยวกับโจทย์พวกความแปรปรวนจากลิงค์ต่อไปนี้

เฉลย Pat 1 เรื่องโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด

โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

แบบฝึกหัดการหาความแปรปรวนของข้อมูลหลายชุด

แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด

ความแปรปรวน

สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

6. ถ้าคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้ค่ากลางของข้อมูลอย่างอื่นที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่หาได้จะมีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่หาได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกัน

1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งคือ \(a,b,c,d\) มี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรเท่ากับ \(p\) แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(2-3a,2-3b,2-3c,2-3d\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ใช้สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยคับ 

จะเห็นได้ว่า

\(-3a,-3b,-3c,-3d\)  คือการเอา \(-3\) คูณเข้ากับข้อมูลเดิม ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้จึงเท่ากับ \(|-3|p=3p\)

และจะเห็นว่า

\(2-3a,2-3b,2-3c,2-3d\) คือการเอา \(2\) ไปบวกเข้ากับข้อมูล \(-3a,-3b,-3c,-3d\)  ดังนัั้นตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะยังเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิมคือ \(3p\)

ข้อนี้ตอบ \(3p\)

2. ในการศึกษาน้ำหนักมังคุด 10 ผล ปรากฎว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของน้ำหนักมังคุดมีค่าเป็นศูนย์ ถ้าผลรวมกำลังสองของน้ำหนักมังคุดแต่ละผลเป็น 9000 กรัม มังคุดแต่ละผลหนักกี่กรัม

วิธีทำ จากโจทย์เนื่องจากส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ เราจึงได้ว่าน้ำหนักมังคุดทั้ง 10 ผลนี้ มันหนักเท่ากัน

ผมสมมติให้ แต่ละผลหนักเท่ากับ \(x\) กรัม ดังนั้น กำลังสองของน้ำหนังมังคุดแต่ละลูกคือ \(x^{2}\)

และจะได้อีกว่าผลรวมกำลังสองของน้ำหนักมังคุดทั้งหมดคือ \(10x^{2}\) ซึ่งจากโจทย์เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}10x^{2}&=&9000\\x^{2}&=&\frac{9000}{10}\\x^{2}&=&900\\x&=&\pm 30\end{array}

เนื่องจาก \(x\) คือน้ำหนักมังคุดแต่ละลูก ดังนั้น \(x=30\) กรัม นั่นคือมังคุดแต่ละลูกหนัก 30 กรัม

3. เมื่อวันปีใหม่ที่ผ่านมา คุณพ่อตั้งใจจะเห็นเงินแก่ลูก 7 คน เรียงตามลำดับอายุดังนี้ \(31,30,29,28,27,26,25\) บาท ตามลำดับ คุณพ่อนึกขึ้นมาได้ว่าปัจจุบันค่าใช้จ่ายสูงขึ้น ควรจะให้เงินแก่ลูกเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของแต่ละคน ซึ่งเมื่อคิดส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินที่ได้รับครั้งหลังแล้วได้เท่ากับ 3 บาท จงหาว่าลูกคนที่สองจะได้รับเงินกี่บาท

วิธีทำขั้นตอนการทำข้อนี้คือ เอาข้อมูลนี้คือ \(31,30,29,28,27,26,25\) ซึ่งผมจะเรียกว่าข้อมูลเดิม มาหา S.D. ซึ่งจะได้ S.D. ของข้อมูลเดิมนี้เท่ากับ 2  ไปหากันเองนะคับไม่แสดงวิธีทำให้ดู

ขั้นตอนต่อไปคือพิจารณาจากโจทย์  พ่อเพิ่มเงินให้แก่ลูกตามสัดส่วนของแต่ละคน สมมติให้พ่อเพิ่มเงินให้แต่ละคนคิดเป็นสัดส่วนคือ \(a\) นั่นคือ แต่ละคนได้เงินเพิ่มเป็น \(31a,30a,29a,28a,27a,26a,25a\) ซึ่งหลังจากที่พ่อเพิ่มให้เงินแก่ลูกๆแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินครั้งหลังนี้มีค่าเท่ากับ \(3\) ตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราได้ว่า

\begin{array}{lcl}3&=&|a|2\\|a|&=&\frac{3}{2}\\|a|&=&1.5\\a&=&1.5\end{array}

นั่นก็คือลูกคนที่สองได้รับเงิน \(30a=30(1.5)=45\) บาท

*** ค่าของ \(a\) ต้องใช้เป็น 1.5 นะคับเพื่อให้เข้ากับเงื่อนไขของโจทย์คือได้เงินเพิ่มขึ้น แต่ถ้าใช้ \(a\) เป็น \(-1.5\) เงินจะติดลบซึ่งไม่ตรงตามเงื่อนไขของโจทย์

4. ข้อมูล 2 ชุด มีจำนวนข้อมูลเท่ากัน  ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ปรากฏผลดังนี้ \(\overline{x_{1}}:\overline{x_{2}}=3:5\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเท่ากัน ถ้าข้อมูลชุดที่หนึ่งเป็น  \(1,4,6,9,10\)  จงหาข้อมูลชุดที่สอง

วิธีทำ จากข้อมูลชุดที่หนึ่งที่โจทย์ให้มา ทำให้เราได้ว่าข้อมูลชุดที่หนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(\overline{x_{1}}=6\)  ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\(\overline{x_{2}}=10\) ก็คือข้อมูลชุดที่สองมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ \(10\) นั่นเองครับ อันนี้ไม่คำนวณให้ดูนะ ลองไปหาเองไม่ยาก

ต่อไปคิดตามดีๆ นะ เนื่องจากข้อมูลชุดที่สองมันมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ \(10\) ดังนั้นผลรวมของข้อมูลชุดที่สองซึ่งมีข้อมูลอยู่ 5 ตัวจะเท่ากับ \(50\) นะคับคิดตามดีๆ

การหาข้อมูลชุดที่สอง ให้เริ่มต้นจากข้อมูลชุดที่หนึ่ง  และใช้สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มาช่วยในการหานิดหน่อย ก็คือว่า

ข้อมูลชุดที่หนึ่งคือ \(1,4,6,9,10\)  ซึ่งผลรวมของข้อมูลชุดที่หนึ่งคือ 30 

แต่ข้อมูลชุดที่สอง ที่เราต้องการหาอยู่นี้เราต้องการผลรวมของมันคือให้ได้เท่ากับ 50 ดังนั้นเราต้องเอา \(4\) ไปบวกเข้ากับทุกตัวของข้อมูลชุดที่ 1 ก็จะได้ข้อมูลชุดที่สองเป็น \(1+4,4+4,6+4,9+4,10+4\) หรือก็คือ \(5,8,10,13,14\)  ตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเห็นได้ว่า ข้อมูลชุดที่หนึ่ง กับ ข้อมูลชุดที่สอง ก็ยังมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน ไม่เชื่อลองคำนวณดู  ดังนั้นข้อมูลชุดที่สอง ก็คือ \(5,8,10,13,14\)

5. ในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง นักคำนวณได้ใช้ค่ามัธยฐานซึ่งมีค่า 45 มาคำนวณแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งมีค่า 48 ปรากฎหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 5 ถ้านักคำนวณผู้นี้ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมาคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้ว จะคำนวณได้เท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์เราได้ว่า

\begin{array}{lcl}5&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-median)^{2}}{N}}\\25&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)^{2}}{N}\quad\cdots (1)\end{array}

และจากโจทย์อีกอันคือ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{N}}\\S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}}\\S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) และข้อมูลที่โจทย์ให้มาคือ \(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}=48\)

เริ่มหาคำตอบกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45-3)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left[(x_{i}-45)^{2}-6(x_{i}-45)+9\right]}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)^{2}}{N}-\frac{6\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)}{N}+\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}9}{N}\\&=&25-6\left[\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}-\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}45}{N}\right]+\frac{9N}{N}\\&=&25-6[48-\frac{45N}{N}]+9\\&=&25-6[3]+9\\&=&25-9\\&=&16\end{array}

เนื่องจาก

\(S.D.^{2}=16\)

นั่นคือ

\(S.D.=4\)

ก็คือถ้าใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมาคำนวณค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4

6.ถ้า \(\mu\) และ \(\sigma\) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยประมาณเป็นจำนวนเต็มของข้อมูล \(12,13,15,17,23\) ตามลำดับ ถ้าแปลงข้อมูลใหม่ด้วยสูตร \(y_{i}=ax_{i}+b\) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่เป็น 18 และ  \(3\sigma\) ตามลำดับ จงหาค่าของ \(\mu ,\sigma ,a,b\)

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นได้ว่าข้อมูลชุดใหม่ถูกแปลงด้วยสูตร \(y_{i}=ax_{i}+b\) ทำให้ข้อมูลทั้งสองชุดนี้มีความสัมพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นเราสามารถใช้สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เลย ถ้าให้ \(\mu_{new}\) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่เราสามารถหาค่า \(\mu_{new}\) ได้จาก

\[\mu_{new}=a\mu+b\]

ซึ่งเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\mu_{new}&=&a\mu+b\\18&=&a(16)+b\quad\cdots (1)\end{array}

*** จากข้อมูลที่กำหนดให้คือ 12,13,15,17,23 ได้ค่าเฉลี่ยเลคณิต(\(\mu\)) เท่ากับ 16 นะ

และข้อมูลสองชุดนี้มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ว่า

\[\sigma_{new}=|a|\sigma\]

เมื่อ \(\sigma_{new}\) คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่

\(\sigma\) คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม 

ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\sigma_{new}&=&|a|\sigma\\3\sigma&=&|a|\sigma\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((2)\) เราได้ว่า \(a=3\) และเรานำค่า \(a=3\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) ได้ค่า \(b=-30\)

เนื่องจากเราได้ค่าของ \(a\) และ \(b\) แล้ว เราจึงได้ว่า

\[y_{i}=ax_{i}+b\]

มีค่าเท่ากับ

\[y_{i}=3x_{i}-30\] 

ต่อไปเราได้ว่า เราก็คำนวณหาค่าของ \(\sigma\) ทำเองนะคับจะได้ว่า

\[\sigma=\sqrt{\frac{76}{5}}\]

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

วิธีทำ

ราคาเครื่องสำอางชนิดหนึ่งที่นำมาเป็นตัวอย่างจากร้านค้า 8 แห่ง เรียงจากน้อยไปมากดังนี้

400  410 410  410  410  415  425  640

พิสัยเท่ากับ  640-400=240  บาท

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(\bar{X}=\frac{400+4(410)+415+425+640}{8}=440\)

ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s)

\begin{array}{lcl} s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}}\\&=&\sqrt{\frac{(-40)^{2}+4(-30)^{2}+(-25)^{2}+(-15)^{2}+(200)^{2}}{8-1}}\\&=&\sqrt{\frac{46050}{7}}\\&=&81.11\quad บาท \end{array}

ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

\begin{array}{lcl}M.D. &=&=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{40+4(30)+25+15+200}{8}\\&=&\frac{400}{8}\\&=&50\quad บาท \end{array}

ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

หาตำแหน่งของ \(Q_{1}=\frac{1}{4}(8+1)=2.25\)

จะได้ ควอร์ไทล์ที่ 1 หรือก็คือ \(Q_{1}=410\)  การหาค่าควอร์ไทล์ใครหาไม่เป็นไปอ่านตามลิงค์นะครับ

หาตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3}{4}(8+1)=6.75\)

จะได้ \(Q_{3}=415+(10\times 0.75)=422.5\)

จะได้ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ \(\frac{422.5-410}{2}=6.25\)  บาท

ดังนั้นการวัดการกระจายของข้อมูลชุดนี้ ควรใช้ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์จึงเหมาะสมที่สุดเนื่องจากราคาเครื่องสำอาง 640 บาท เป็นค่าสูงผิดปกติเมื่อเปรียบเทียบกันค่าอื่น

2. จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเปรียบเทียบการกระจายของราคาสินค้าชนิดหนี่งที่ขายตามร้านต่างๆในสองท้องที่ซึ่งขายในราคาที่ต่างกันดังนี้

ท้องที่ที่หนึ่ง (บาท) 50,  52,  45,  55,  54,  48,  53

ท้องที่ที่สอง (บาท) 40,  50,  51,  52,  51,  51,  62,  53,  49

วิธีทำ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของราคาสินค้าในท้องที่ที่หนึ่งคือ

\(\bar{X}=\frac{50+52+45+55+54+48+53}{7}=51\quad บาท\)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของราคาสินค้าในท้องที่ที่สองคือ

\(\bar{X}=\frac{40+50+51+52+51+51+62+53+49}{9}=51\quad บาท\)

จะเห็นว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของราคาสินค้าของสองท้องที่เท่ากัน  การเปรียบเทียบการกระจายของราคาสินค้าในสองท้องที่สามารถใช้  ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้

(ในกรณีที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่เท่ากันไม่สามารถทำการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล 2 ชุดโดยการใช้การกระจายสัมบูรณ์ได้)

การหาการกระจายราคาสินค้าโดยการใช้ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของท้องที่ที่หนึ่งเท่ากับ

\(M.D.=\frac{1+1+6+4+3+3+2}{7}=\frac{20}{7}\approx 2.86\)

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของท้องที่ที่สองเท่ากับ

\(M.D.=\frac{11+0+1+0+0+11+2+2}{9}=\frac{28}{9}\approx 3.11\)

ดังนั้น ราคาสินค้าในท้องที่ที่สองมีการกระจายมากกว่าราคาสินค้าในท้องที่ที่หนึ่ง

การหาการกระจายราคาสินค้าโดยการใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของท้องที่ที่หนึ่งเท่ากับ

\(s=\sqrt{\frac{1+1+36+16+9+9+4}{6}}\approx 3.56\)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของท้องที่ที่สองเท่ากับ

\(s=\sqrt{\frac{121+1+0+1+0+0+121+4+4}{8}}\approx 5.61\)

ดังนั้นราคาสินค้าในท้องที่ที่สองมีการกระจายมากกว่าราคาสินค้าในท้องที่ที่หนึ่ง

จากที่เราหาการกระจายของราคาสินค้าของสองท้องที่ ได้คำตอบเหมือนกันคือราคาสินค้าในท้องที่ที่สองมีการกระจายมากกว่าในท้องที่ที่หนึ่ง แต่ในทางปฏิบัติมักจะใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ

3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่างของประชากรขนาด 20 รายการ ชุดหนึ่งเป็น 10 และ 2 ตามลำดับ ภายหลังพบว่ามีการบันทึกข้อมูลรายการหนึ่งผิดพลาดไป โดย 12 บันทึกเป็น 8 จงคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง

วิธีทำ  การทำข้อนี้ไม่ยากครับ  จากโจทย์ตอนแรกโจทย์บอกว่า

\(\bar{X}=10\)

\(s=8  \)

จากสูตรการหาค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\\10&=&\frac{\sum_{i=1}^{20}}{20}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}&=&10\times 200\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}&=&200\end{array}

ต่อโจทย์บอกว่ามีการบันทึกข้อมูลผิดพลาดไป โดย 12 แต่เขาบันทึกเป็น 8  แสดงว่าต้องบันทึกเพิ่มอีก 4 ใช่ไหมครับดังนั้น

\(\sum_{x=1}^{20}=200+4\)  อันนี้คือผลรวมที่ถูกต้องครับ

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องคือ

\(\bar{X}=\frac{204}{20}=10.2\)

ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานครับ

ใช้สูตรนี้ในการหานะครับ เลือกใช้สูตรให้เหมาะสมนะครับ

\(s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}}\) 

ลองแทนค่าตามที่โจทย์ให้มาลงไปในสูตรครับจะได้

\(2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}-20(10)^{2}}{20-1}}\)

ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างครับจะได้

\begin{array}{lcl}4&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}-20(10)^{2}}{20-1}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}&=&4\times 19+2000\\\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}&=&2076\end{array} อันนี้ยังเป็นการคำนวณที่ผิดนะครับเพราะเขาบันทึกข้อมูลผิดครับที่ถูกต้องก็คือ จากเริ่มแรกที่เราคำนวณมา

\(\bar{X}=200-8+12=204\)

ดังนั้นผลรวม \(x_{i}^{2}\) ที่ถูกต้องคือ

\(\sum_{i=1}^{20}=x_{i}^{2}=2076-(8)^{2}+(12)^{2}=2156\)

ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องคือ

\begin{array}{lcl}s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20}x_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}}{n-1}}\\&=&\sqrt{\frac{2156-20(10.2)^{2}}{20-1}}\\&=&\sqrt{\frac{75.2}{19}}\\&=&1.99\end{array}

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องคือ 1.99

ค่าเฉลี่ยที่ถูกต้องคือ 10.2

9.ให้ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{5}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ เราก็หาคำตอบจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั่นแหละครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับกับ 6 นั่นก็คือ

\(\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}}{5}=6\quad\cdots  (1)\)

จากสมการที่\((1)\) จะได้ว่า

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=30\quad\cdots  (2)\)

และโจทย์ยังให้อันนี้เรามาอีกก็คือ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) เราเอาอันนี้มากระจายจะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}^{2}-8x_{i}+16)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{5}16&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8(30)+(16)(5)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&190\end{array}

สิ่งที่เราหามาข้างบนก็เพื่อนำมาแทนค่าในสูตรของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือสูตรนี้

\[S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\]

ทำต่อเลยคับจะได้

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{190}{5}-6^{2}}\\&=&\sqrt{2}\quad\underline{Ans}\end{array}

10. ถ้า \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{10}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่ง \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ \(M^{2}\) เมื่อ \(M=15\)  จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ สิ่งที่เราต้องรู้ข้อนี้ก็คือสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็คือ ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดแล้ว เราจะได้ว่า \(M\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต นั่นก็คือ

\[\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}}{10}=M=15\quad\cdot (1)\]

จากสมการที่ \((1)\) เราจึงได้ว่า

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=10\times 15=150\quad\cdots (2)\]

ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าเท่ากับ \(M^{2}\) ดังนั้นจะได้สมการนี้ออกมาคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}&=&M^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-15)^{2}&=&15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}^{2}-30x_{i}+225)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}225&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30(150)+(225)(10)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&2475\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าต่างๆที่คำนวณมา ดังต่อไปนี้

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=150\)

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=2475\)

\(\bar{X}=15\) 

เรานำค่าที่เราได้มานี้มาคำนวณหาคำตอบกันเลยครับจะได้ดังนี้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}5\\&=&2(150)+(5)(10)\\&=&300+50\\&=&350\quad\underline{Ans}\end{array}

ต่อไปหา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{2475}{10}-15^{2}}\\&=&\sqrt{22.5}\quad\underline{Ans}\end{array}

11. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็น 8 และ 3 ตามลำดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) เป็น 10 และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\)  จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\)

วิธีทำ ข้อนี้เริ่มทำที่โจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) มีค่าเท่ากับ 3  เราจะได้ดังนี้คือ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-(8)^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-64\\\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}&=&219\quad\cdots (1)\end{array}

และโจทย์บอกอีกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}\\&=&567-219\\&=&384\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((1),(2)\) เราสามารถนำไปหาคำตอบได้แล้ว ก็คือ โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{384}{3}-10^{2}}\\&=&\sqrt{28}\quad\underline{Ans}\end{array}

12.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53  มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด

วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)

และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}

และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า

\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)

ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}

และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)

ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า

\(|44-53|=9\)

\(|50-53|=3\)

\(|65-53|=12\)

ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)

ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม

\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}

13. ข้อมูลชุดหนึ่งมี N ตัว มี 1 อยู่ \(X\%\) นอกนั้นเป็น \(0\) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  การทำข้อนี้เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างให้ดูแบบนี้นะคับ สมมติผมมีข้อมูลแบบนี้คือ

\(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0\)

จากข้อมูลที่กำหนดให้จะเห็นว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(40\%\)  และได้ว่า

\(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)

\(\bar{X}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)

ดังนั้นเราจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้เท่ากับ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{40}{100}-(\frac{40}{100})^{2}}\end{array}

พอเห็นตัวอย่างข้างบนนี้หลายคนน่าจะมองเห็นวิธีการตอบของข้อนี้แล้วนะคับ ว่าจะตอบอย่างไร

ดังนั้นข้อนี้เขาบอกว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(X\%\) จึงทำให้ได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{X}{100}-(\frac{X}{100})^{2}}\end{array}

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

สำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ให้อ่านตามลิงค์นี้ครับผมได้เขียนแสดงตัวอย่างให้ดูเยอะแล้วครับจะเป็นตัวอย่างที่รวมอยู่ในหัวข้อส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ค่อยๆอ่านครับส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

ต่อไปก็ไปดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

1. จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรายได้ชองคนงานหญิง 400 คน จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ แล้วเปรียบเทียบค่าที่ได้กับพิสัยของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ และ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และข้อมูลที่เขาให้มาเป็นข้อมูลแบบแจกแจงความถี่  ดังนั้นต้องใช้สูตรนี้ครับ

\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}

เมื่อ k  แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

      \(f_{i}\)  แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

      \(x_{i}\)   แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

แสดงว่าเราต้องไปหาจุดกี่งกลางชั้น หาค่าเฉลี่ย และหาความถี่สะสม ความถี่สะสมนี้เอาไว้ไปใช้คำนวณในการหาควอร์ไทล์ การหาค่าควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

จากตาราง จะได้ว่า

\(\bar{X}=\frac{720800}{400}=1802\)

ตำแหน่งของ \(Q_{1}=\frac{1}{4}\times 400=100\)

ดังนั้น \(Q_{1}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 3  การหาควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่อ่านได้ตามลิงค์นี้นะครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ จะได้

\(Q_{1}=1699.5+\left(\frac{100-90}{120}\right)\times 100=1707.83\)

ต่อไป

ตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3}{4}\times 400=300\)

ดังนั้น \(Q_{3}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 4 จะได้

\(Q_{3}=1799.5+\left(\frac{300-210}{100}\right)\times 100=1889.5\)

ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลเท่ากับ

\(\frac{1889.5-1707.83}{2}=\frac{181.67}{2}=90.835\) บาท

ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยก็นำข้อมูลในตารางมาแทนค่าในสูตรเลยครับเพราะในตารางเราเตรียมข้อมูลไว้เรียบร้อยแล้วครับ

จากสูตรการหาส่วนเบี่ยงเฉลี่ย

\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{44050}{400}\\&=&110.125\quad บาท\end{array}

พิสัยเทากับ  2199.5-1499.5=700 บาท

เปรียบเทีบบค่าของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยกับค่าพิสัยจะพบว่าพิสัยมีค่าสูงกว่าส่วนส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมากครับ

2. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีครู 8 คน ซึ่งมีเงินเดือนดังนี้

8430 , 9550 , 17920 , 19400 , 20290 , 20710 , 30210 , 32740 

จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ ข้อมูลชุดนี้เป็นข้อมูลที่ไม่มีการแจกแจงความถี่ จะได้

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{8430 + 9550 + 17920 + 19400 + 20290+ 20710 + 30210+ 32740 }{8}\\&=&19906.25\end{array}

ต่อไปหาค่าของ \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้

\(|8430-19906.25|=11476.25\)

\(|9550-19906.25|=10356.25\)

\(|17920-19906.25|=1986.25\)

\(|19400-19906.25|=506.25\)

\(|20290 -19906.25|=383.75\)

\(|20710-19906.25|=803.75\)

\(|30210-19906.25|=10303.75\)

\(|32740-19906.25|=12833.75\)

เพราะฉะนั้นจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}&=&\frac{11476.25+10356.25+1986.25+506.25+383.75+803.75+10303.75+12833.75}{8}\\&=&6081.25\end{array}

นั่นคือ ส่วนเบนเบนเฉลี่ยของเงินเดือนครูโรงเรียนแห่งนี้เท่ากับ 6081.25 บาท

3.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53  มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด

วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)

และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}

และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า

\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)

ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}

และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)

ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า

\(|44-53|=9\)

\(|50-53|=3\)

\(|65-53|=12\)

ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)

ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม

\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}